Calcolo Esempi

$(2 x y - x) d x + (y^{2} + x^{2}) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 2 x y - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - x]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x y - x$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $y$ è $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- x]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = y^{2} + x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y^{2} + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 x$

Passaggio 2.5

Somma $0$ e $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2 x$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 x$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 x = 2 x$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$2 x = 2 x$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y - x d x$

Passaggio 5

Integra $M (x, y) = 2 x y - x$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int 2 x y d x + \int - x d x$

Passaggio 5.2

Poiché $2 y$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2 y$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = 2 y \int x d x + \int - x d x$

Passaggio 5.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - x d x$

Passaggio 5.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x d x$

Passaggio 5.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 5.6

Semplifica.

$f (x, y) = 2 \cdot \frac{1}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Passaggio 5.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Passaggio 5.7.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Passaggio 5.7.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = 1 y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Passaggio 5.7.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$f (x, y) = y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Passaggio 5.7.4

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

Passaggio 5.7.5

Per scrivere $y x^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

Passaggio 5.7.6

$y x^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

Passaggio 5.7.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + C$

Passaggio 5.7.8

Sposta $2$ alla sinistra di $y x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot (y x^{2}) - x^{2}}{2} + C$

Passaggio 5.7.9

Rimuovi le parentesi.

$f (x, y) = \frac{2 y x^{2} - x^{2}}{2} + C$

Passaggio 5.8

Riordina i termini.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + x^{2}$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Passaggio 8.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [2 y x^{2} - x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [2 y x^{2} - x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Passaggio 8.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 y x^{2} - x^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Passaggio 8.3.3

Poiché $2 x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y x^{2}$ rispetto a $y$ è $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Passaggio 8.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Passaggio 8.3.5

Poiché $- x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Passaggio 8.3.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Passaggio 8.3.7

Somma $2 x^{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Passaggio 8.3.8

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Passaggio 8.3.9

$\frac{2}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Passaggio 8.3.10

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.10.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Passaggio 8.3.10.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Passaggio 8.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{2} + \frac{d g}{d y} = y^{2} + x^{2}$

Passaggio 8.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} = y^{2} + x^{2}$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + x^{2} - x^{2}$

Passaggio 9.1.2

Combina i termini opposti in $y^{2} + x^{2} - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + 0$

Passaggio 9.1.2.2

Somma $y^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2}$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $y^{2}$ per trovare $g (y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{2} d y$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{2} d y$

Passaggio 10.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Passaggio 12

Semplifica $f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2}) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Passaggio 12.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 y x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 (y x^{2})) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Passaggio 12.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 (y x^{2})) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Passaggio 12.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Passaggio 12.1.3

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Passaggio 12.1.4

Per scrivere $y x^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Passaggio 12.1.5

$y x^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Passaggio 12.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Passaggio 12.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.7.1

Scomponi $x^{2}$ da $y x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.7.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $y x^{2} \cdot 2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2) - x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Passaggio 12.1.7.1.2

Scomponi $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Passaggio 12.1.7.1.3

Scomponi $x^{2}$ da $x^{2} (y \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2 - 1)}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Passaggio 12.1.7.2

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Passaggio 12.1.8

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} + \frac{y^{3}}{3} + C$

Passaggio 12.2

Per scrivere $\frac{x^{2} (2 y - 1)}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{3}}{3} + C$

Passaggio 12.3

Per scrivere $\frac{y^{3}}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

Passaggio 12.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.1

Moltiplica $\frac{x^{2} (2 y - 1)}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

Passaggio 12.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

Passaggio 12.4.3

Moltiplica $\frac{y^{3}}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} + C$

Passaggio 12.4.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Passaggio 12.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Passaggio 12.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = \frac{(x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Passaggio 12.6.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y + x^{2} \cdot - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Passaggio 12.6.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y - 1 \cdot x^{2}) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Passaggio 12.6.4

Riscrivi $- 1 x^{2}$ come $- x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y - x^{2}) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Passaggio 12.6.5

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2} y \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Passaggio 12.6.6

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - x^{2} \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Passaggio 12.6.7

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - 3 x^{2} + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Passaggio 12.6.8

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - 3 x^{2} + 2 y^{3}}{6} + C$