Calcolo Esempi

$(x y^{2} + 4 y^{2}) d y - 5 x d x = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

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Passaggio 1.1

Riscrivi.

$- 5 x d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = - 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 5 x]$

Passaggio 2.2

Poiché $- 5 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x y^{2} + 4 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{2} + 4 y^{2}]$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x y^{2} + 4 y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x y^{2}$ rispetto a $x$ è $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 3.4.1

Poiché $4 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} + 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $y^{2}$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2}$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $y^{2}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$0 = y^{2}$

Passaggio 4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$0 = y^{2}$ non è un'identità.

Passaggio 5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $0$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $y^{2}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - y^{2}}{N}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $x y^{2} + 4 y^{2}$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci $x y^{2} + 4 y^{2}$ a $N$ .

$\frac{0 - y^{2}}{x y^{2} + 4 y^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $y^{2}$ da $0$ .

$\frac{- y^{2}}{x y^{2} + 4 y^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $y^{2}$ da $x y^{2} + 4 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $y^{2}$ da $x y^{2}$ .

$\frac{- y^{2}}{y^{2} x + 4 y^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $y^{2}$ da $4 y^{2}$ .

$\frac{- y^{2}}{y^{2} x + y^{2} \cdot 4}$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} x + y^{2} \cdot 4$ .

$\frac{- y^{2}}{y^{2} (x + 4)}$

Passaggio 5.3.4

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- y^{2}}{y^{2} (x + 4)}$

Passaggio 5.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{x + 4}$

Passaggio 5.3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{x + 4}$

Passaggio 5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x + 4} d x}$

Passaggio 6

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{1}{x + 4} d x}$ .

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Passaggio 6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x + 4} d x}$

Passaggio 6.2

Sia $u = x + 4$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.2.1

Sia $u = x + 4$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 6.2.1.1

Differenzia $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Passaggio 6.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 6.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 6.2.1.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 6.2.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 6.3

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Passaggio 6.4

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Passaggio 6.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 4$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x + 4 |)} + C$

Passaggio 6.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.6.1

Semplifica $- \ln (| x + 4 |)$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x + 4 |}^{- 1})} + C$

Passaggio 6.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| x + 4 |}^{- 1} + C$

Passaggio 6.6.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x + 4 |} + C$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati di $- 5 x d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{x + 4}$ .

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Passaggio 7.1

Moltiplica $- 5 x$ per $\frac{1}{x + 4}$ .

$- 5 x \frac{1}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.2

Moltiplica $- 5 x \frac{1}{x + 4}$ .

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Passaggio 7.2.1

$- 5$ e $\frac{1}{x + 4}$ .

$x \frac{- 5}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.2.2

$x$ e $\frac{- 5}{x + 4}$ .

$\frac{x \cdot - 5}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.3

Sposta $- 5$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{- 5 \cdot x}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.5

Moltiplica $x y^{2} + 4 y^{2}$ per $\frac{1}{x + 4}$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) \frac{1}{x + 4} d y = 0$

Passaggio 7.6

Moltiplica $x y^{2} + 4 y^{2}$ per $\frac{1}{x + 4}$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{x y^{2} + 4 y^{2}}{x + 4} d y = 0$

Passaggio 7.7

Scomponi $y^{2}$ da $x y^{2} + 4 y^{2}$ .

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Passaggio 7.7.1

Scomponi $y^{2}$ da $x y^{2}$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} x + 4 y^{2}}{x + 4} d y = 0$

Passaggio 7.7.2

Scomponi $y^{2}$ da $4 y^{2}$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} x + y^{2} \cdot 4}{x + 4} d y = 0$

Passaggio 7.7.3

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} x + y^{2} \cdot 4$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} (x + 4)}{x + 4} d y = 0$

Passaggio 7.8

Elimina il fattore comune di $x + 4$ .

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Passaggio 7.8.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} (x + 4)}{x + 4} d y = 0$

Passaggio 7.8.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + y^{2} d y = 0$

Passaggio 8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} d y$

Passaggio 9

Integra $N (x, y) = y^{2}$ per trovare $f (x, y)$ .

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Passaggio 9.1

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

Passaggio 10

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$

Passaggio 11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{5 x}{x + 4}$

Passaggio 12

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Passaggio 12.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3} + g (x)] = - \frac{5 x}{x + 4}$

Passaggio 12.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{5 x}{x + 4}$

Passaggio 12.3

Poiché $\frac{1}{3} y^{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3} y^{3}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{5 x}{x + 4}$

Passaggio 12.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = - \frac{5 x}{x + 4}$

Passaggio 12.5

Somma $0$ e $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - \frac{5 x}{x + 4}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $- \frac{5 x}{x + 4}$ per trovare $g (x)$ .

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Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = - \frac{5 x}{x + 4}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{5 x}{x + 4} d x$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \frac{5 x}{x + 4} d x$

Passaggio 13.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (x) = - \int \frac{5 x}{x + 4} d x$

Passaggio 13.4

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$g (x) = - (5 \int \frac{x}{x + 4} d x)$

Passaggio 13.5

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$g (x) = - 5 \int \frac{x}{x + 4} d x$

Passaggio 13.6

Dividi $x$ per $x + 4$ .

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Passaggio 13.6.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$4$

$x$

$0$

Passaggio 13.6.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$1$
	$x$	+	$4$		$x$	+	$0$

Passaggio 13.6.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$4$

Passaggio 13.6.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x + 4$

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$4$

Passaggio 13.6.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$4$
					-	$4$

Passaggio 13.6.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$g (x) = - 5 \int 1 - \frac{4}{x + 4} d x$

Passaggio 13.7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$g (x) = - 5 (\int d x + \int - \frac{4}{x + 4} d x)$

Passaggio 13.8

Applica la regola costante.

$g (x) = - 5 (x + C + \int - \frac{4}{x + 4} d x)$

Passaggio 13.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (x) = - 5 (x + C - \int \frac{4}{x + 4} d x)$

Passaggio 13.10

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$g (x) = - 5 (x + C - (4 \int \frac{1}{x + 4} d x))$

Passaggio 13.11

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$g (x) = - 5 (x + C - 4 \int \frac{1}{x + 4} d x)$

Passaggio 13.12

Sia $u = x + 4$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.12.1

Sia $u = x + 4$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.12.1.1

Differenzia $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Passaggio 13.12.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 13.12.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 13.12.1.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 13.12.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 13.12.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$g (x) = - 5 (x + C - 4 \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 13.13

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$g (x) = - 5 (x + C - 4 (\ln (| u |) + C))$

Passaggio 13.14

Semplifica.

$g (x) = - 5 (x - 4 \ln (| u |)) + C$

Passaggio 13.15

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 4$ .

$g (x) = - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$

Passaggio 15

Semplifica $f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$ .

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Passaggio 15.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 15.1.1

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$

Passaggio 15.1.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 15.1.2.1

Semplifica $- 4 \ln (| x + 4 |)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 (x - \ln ({| x + 4 |}^{4})) + C$

Passaggio 15.1.2.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| x + 4 |}^{4}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 (x - \ln ({(x + 4)}^{4})) + C$

Passaggio 15.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x - 5 (- \ln ({(x + 4)}^{4})) + C$

Passaggio 15.1.4

Moltiplica $- 5 (- \ln ({(x + 4)}^{4}))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 5$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + 5 \ln ({(x + 4)}^{4}) + C$

Passaggio 15.1.4.2

Semplifica $5 \ln ({(x + 4)}^{4})$ spostando $5$ all'interno del logaritmo.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + \ln ({({(x + 4)}^{4})}^{5}) + C$

Passaggio 15.1.5

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 4)}^{4})}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + \ln ({(x + 4)}^{4 \cdot 5}) + C$

Passaggio 15.1.5.2

Moltiplica $4$ per $5$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + \ln ({(x + 4)}^{20}) + C$

Passaggio 15.2

Per scrivere $\ln ({(x + 4)}^{20})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3}}{3} + \ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Passaggio 15.3

$\ln ({(x + 4)}^{20})$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3}}{3} + \frac{\ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot 3}{3} + C$

Passaggio 15.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot 3}{3} + C$

Passaggio 15.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.1

Moltiplica $\ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.1.1

Riordina $\ln ({(x + 4)}^{20})$ e $3$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + 3 \cdot \ln ({(x + 4)}^{20})}{3} + C$

Passaggio 15.5.1.2

Semplifica $3 \cdot \ln ({(x + 4)}^{20})$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({({(x + 4)}^{20})}^{3})}{3} + C$

Passaggio 15.5.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 4)}^{20})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({(x + 4)}^{20 \cdot 3})}{3} + C$

Passaggio 15.5.2.2

Moltiplica $20$ per $3$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({(x + 4)}^{60})}{3} + C$