Calcolo Esempi

$\frac{d x}{d t} = x^{2} + \frac{1}{36}$ , $x (0) = 2$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} (x^{2} + \frac{1}{36})$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x^{2} + \frac{1}{36}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} (x^{2} + \frac{1}{36})$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} d x = 1 d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} d x = \int d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riordina $x^{2}$ e $\frac{1}{36}$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{36} + x^{2}} d x = \int d t$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{36}$ come ${(\frac{1}{6})}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(\frac{1}{6})}^{2} + x^{2}} d x = \int d t$

Passaggio 2.2.3

L'integrale di $\frac{1}{{(\frac{1}{6})}^{2} + x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{\frac{1}{6}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{6}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{6}$ .

$1 \cdot 6 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.2.4.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{6}$ .

$6 \arctan (x \cdot 6) + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.2.4.4

Sposta $6$ alla sinistra di $x$ .

$6 \arctan (6 x) + C_{1} = \int d t$

Passaggio 2.3

Applica la regola costante.

$6 \arctan (6 x) + C_{1} = t + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$6 \arctan (6 x) = t + K$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 \arctan (6 x) = t + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 \arctan (6 x) = t + K$ .

$\frac{6 \arctan (6 x)}{6} = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 \arctan (6 x)}{6} = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Dividi $\arctan (6 x)$ per $1$ .

$\arctan (6 x) = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

Passaggio 3.2

Trova l'arcotangente inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ da dentro l'arcotangente.

$6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$

Passaggio 3.3

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 x}{6} = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$

Passaggio 5

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $t$ con $0$ e $x$ con $2$ in $x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$ .

$2 = \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6}$

Passaggio 6

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 2$ .

$\frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 2$

Passaggio 6.2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $6$ .

$6 \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 6 \cdot 2$

Passaggio 6.3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$6 \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 6 \cdot 2$

Passaggio 6.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\tan (\frac{0}{6} + K) = 6 \cdot 2$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\tan (\frac{0}{6} + K) = 12$

Passaggio 6.4

Trova il valore dell'incognita $K$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$\frac{0}{6} + K = \arctan (12)$

Passaggio 6.5

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Combina i termini opposti in $\frac{0}{6} + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.1

Dividi $0$ per $6$ .

$0 + K = \arctan (12)$

Passaggio 6.5.1.2

Somma $0$ e $K$ .

$K = \arctan (12)$

Passaggio 6.6

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Calcola $\arctan (12)$ .

$K = 1.48765509$

Passaggio 6.7

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$K = (3.14159265) + 1.48765509$

Passaggio 6.8

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

Rimuovi le parentesi.

$K = 3.14159265 + 1.48765509$

Passaggio 6.8.2

Rimuovi le parentesi.

$K = (3.14159265) + 1.48765509$

Passaggio 6.8.3

Somma $3.14159265$ e $1.48765509$ .

$K = 4.62924774$

Passaggio 6.9

Trova il periodo di $\tan (\frac{0}{6} + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.9.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 6.9.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 6.9.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 6.9.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 6.10

Il periodo della funzione $\tan (\frac{0}{6} + K)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$K = 1.48765509 + π n, 4.62924774 + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6.11

Combina $1.48765509 + π n$ e $4.62924774 + π n$ in $1.48765509 + π n$ .

$K = 1.48765509 + π n$

Passaggio 7

Sostituisci $1.48765509 + π n$ a $K$ in $x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci $1.48765509 + π n$ a $K$ .

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + 1.48765509 + π n)}{6}$