Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = \frac{2 t}{y (1 + t^{2})}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d t} = \frac{2 t}{1 + t^{2}} \cdot \frac{1}{y}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y (\frac{2 t}{1 + t^{2}} \cdot \frac{1}{y})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $\frac{2 t}{1 + t^{2}}$ per $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{2 t}{(1 + t^{2}) y}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $y$ da $(1 + t^{2}) y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{2 t}{y (1 + t^{2})}$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{2 t}{y (1 + t^{2})}$

Passaggio 1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d t} = \frac{2 t}{1 + t^{2}}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$y d y = \frac{2 t}{1 + t^{2}} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int \frac{2 t}{1 + t^{2}} d t$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{2 t}{1 + t^{2}} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{t}{1 + t^{2}} d t$

Passaggio 2.3.2

Sia $u = 1 + t^{2}$ . Allora $d u = 2 t d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u = 1 + t^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $1 + t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [1 + t^{2}]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + t^{2}$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 t$

Passaggio 2.3.2.1.5

Somma $0$ e $2 t$ .

$2 t$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Passaggio 2.3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 \int \frac{1}{2 u} d u$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = 1 \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.5.3

Moltiplica $\int \frac{1}{u} d u$ per $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| u |) + C_{2}$

Passaggio 2.3.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + t^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \ln (| 1 + t^{2} |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \ln (| 1 + t^{2} |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\ln (| 1 + t^{2} |) + C)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + t^{2} |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\ln (| 1 + t^{2} |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (\ln (| 1 + t^{2} |) + C)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 \ln (| 1 + t^{2} |) + 2 C$

Passaggio 3.3

Semplifica $2 \ln (| 1 + t^{2} |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$y^{2} = \ln ({| 1 + t^{2} |}^{2}) + 2 C$

Passaggio 3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\ln ({| 1 + t^{2} |}^{2}) + 2 C}$

Passaggio 3.5

Rimuovi il valore assoluto in ${| 1 + t^{2} |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$y = \pm \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

Passaggio 3.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

Passaggio 3.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

Passaggio 3.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + 2 C}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + C}$

$y = - \sqrt{\ln ({(1 + t^{2})}^{2}) + C}$