Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = y \tan (x) - 2 \sin (x)$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 1.1

Sottrai $y \tan (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} - y \tan (x) = - 2 \sin (x)$

Passaggio 1.2

Scomponi $y$ da $- y \tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- 1 \tan (x)) = - 2 \sin (x)$

Passaggio 1.3

Riordina $y$ e $- 1 \tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} - 1 \tan (x) y = - 2 \sin (x)$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - 1 \tan (x)$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - 1 \tan (x) d x}$

Passaggio 2.2

Integra $- 1 \tan (x)$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \tan (x) d x}$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{- (\ln (| \sec (x) |) + C)}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

$e^{- \ln (| \sec (x) |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- \ln (\sec (x))}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (\sec^{- 1} (x))}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\sec^{- 1} (x)$

Passaggio 2.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sec (x)}$

Passaggio 2.7

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Passaggio 2.8

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$1 \cos (x)$

Passaggio 2.9

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x)$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\cos (x)$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (- 1 \tan (x) y) = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

Riscrivi in termini di seni e coseni, quindi cancella i fattori in comune.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Sposta le parentesi.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) (- 1 \tan (x)) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Passaggio 3.2.1.2

Riordina $\cos (x)$ e $- 1 \tan (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 \tan (x) \cos (x) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Passaggio 3.2.1.3

Aggiungi le parentesi.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 (\tan (x) \cos (x)) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Passaggio 3.2.1.4

Riscrivi $\cos (x) (- 1 \tan (x) y)$ in termini di seno e coseno.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Passaggio 3.2.1.5

Elimina i fattori comuni.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - 1 \sin (x) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $- 1 \sin (x)$ come $- \sin (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) y = \cos (x) (- 2 \sin (x))$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) y = - 2 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 3.4

Riordina i fattori in $\cos (x) \frac{d y}{d x} - \sin (x) y = - 2 \cos (x) \sin (x)$ .

$\cos (x) \frac{d y}{d x} - y \sin (x) = - 2 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\cos (x) y] = - 2 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\cos (x) y] d x = \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\cos (x) y = \int - 2 \cos (x) \sin (x) d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$\cos (x) y = - 2 \int \cos (x) \sin (x) d x$

Passaggio 7.2

Sia $u = \cos (x)$ . Allora $d u = - \sin (x) d x$ , quindi $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 7.2.1

Sia $u = \cos (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Differenzia $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 7.2.1.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Passaggio 7.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\cos (x) y = - 2 \int - u d u$

Passaggio 7.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\cos (x) y = - 2 (- \int u d u)$

Passaggio 7.4

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$\cos (x) y = 2 \int u d u$

Passaggio 7.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$\cos (x) y = 2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$

Passaggio 7.6

Semplifica.

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Passaggio 7.6.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{2} u^{2} + C)$ come $2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$ .

$\cos (x) y = 2 (\frac{1}{2}) u^{2} + C$

Passaggio 7.6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\cos (x) y = \frac{2}{2} u^{2} + C$

Passaggio 7.6.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\cos (x) y = \frac{2}{2} u^{2} + C$

Passaggio 7.6.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\cos (x) y = 1 u^{2} + C$

Passaggio 7.6.2.3

Moltiplica $u^{2}$ per $1$ .

$\cos (x) y = u^{2} + C$

Passaggio 7.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$\cos (x) y = \cos^{2} (x) + C$

Passaggio 8

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine in $\cos (x) y = \cos^{2} (x) + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine in $\cos (x) y = \cos^{2} (x) + C$ .

$\frac{\cos (x) y}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (x) y}{\cos (x)} = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $\cos^{2} (x)$ e $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos^{2} (x)$ .

$y = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x)} + \frac{C}{\cos (x)}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 8.3.1.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{C}{\cos (x)}$

Passaggio 8.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) \cdot 1} + \frac{C}{\cos (x)}$

Passaggio 8.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{\cos (x)}$

Passaggio 8.3.1.1.2.4

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$y = \cos (x) + \frac{C}{\cos (x)}$

Passaggio 8.3.1.2

Frazioni separate.

$y = \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 8.3.1.3

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$y = \cos (x) + \frac{C}{1} \sec (x)$

Passaggio 8.3.1.4

Dividi $C$ per $1$ .

$y = \cos (x) + C \sec (x)$