Calcolo Esempi

$(x + y^{2}) d x + (2 x y + y^{2}) d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = x + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x + y^{2}]$

Passaggio 1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.3

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

Passaggio 1.5

Somma $0$ e $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = 2 x y + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y + y^{2}]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x y + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $x$ è $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $2 y$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $2 y$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 y$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 y = 2 y$

Passaggio 3.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$2 y = 2 y$ è un'identità.

Passaggio 4

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x + y^{2} d x$

Passaggio 5

Integra $M (x, y) = x + y^{2}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \int x d x + \int y^{2} d x$

Passaggio 5.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C + \int y^{2} d x$

Passaggio 5.3

Applica la regola costante.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + C + y^{2} x + C$

Passaggio 5.4

Semplifica.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y^{2} x + C$

Passaggio 6

Poiché l'integrale di $g (y)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y^{2} x + g (y)$

Passaggio 7

Imposta $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x y + y^{2}$

Passaggio 8

Trova $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Differenzia $f$ rispetto a $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2} + y^{2} x + g (y)] = 2 x y + y^{2}$

Passaggio 8.2

Differenzia.

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Passaggio 8.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2} x^{2} + y^{2} x + g (y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + y^{2}$

Passaggio 8.2.2

Poiché $\frac{1}{2} x^{2}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $\frac{1}{2} x^{2}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + y^{2}$

Passaggio 8.3

Calcola $\frac{d}{d y} [y^{2} x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $y^{2} x$ rispetto a $y$ è $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + y^{2}$

Passaggio 8.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + x (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + y^{2}$

Passaggio 8.3.3

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$0 + 2 x y + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x y + y^{2}$

Passaggio 8.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (y)$ è $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 2 x y + \frac{d g}{d y} = 2 x y + y^{2}$

Passaggio 8.5

Semplifica.

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Passaggio 8.5.1

Somma $0$ e $2 x y$ .

$2 x y + \frac{d g}{d y} = 2 x y + y^{2}$

Passaggio 8.5.2

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d y} + 2 x y = 2 x y + y^{2}$

Passaggio 9

Risolvi per $\frac{d g}{d y}$ .

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Passaggio 9.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d y}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Sottrai $2 x y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d y} = 2 x y + y^{2} - 2 x y$

Passaggio 9.1.2

Combina i termini opposti in $2 x y + y^{2} - 2 x y$ .

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Passaggio 9.1.2.1

Sottrai $2 x y$ da $2 x y$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + 0$

Passaggio 9.1.2.2

Somma $y^{2}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2}$

Passaggio 10

Trova l'antiderivata di $y^{2}$ per trovare $g (y)$ .

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Passaggio 10.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d y} = y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{2} d y$

Passaggio 10.2

Calcola $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{2} d y$

Passaggio 10.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

Passaggio 11

Sostituisci a $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y^{2} x + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{2} + y^{2} x + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Passaggio 12

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 12.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y^{2} x + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Passaggio 12.2

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2}}{2} + y^{2} x + \frac{y^{3}}{3} + C$