Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} \sqrt{y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y}} (3 x^{2} \sqrt{y})$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{\sqrt{y}} (x^{2} \sqrt{y})$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{y}}$ per $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 (\frac{1}{\sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}) (x^{2} \sqrt{y})$

Passaggio 1.2.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{y}}$ per $\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{y} \sqrt{y}} (x^{2} \sqrt{y})$

Passaggio 1.2.3.2

Eleva $\sqrt{y}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}} (x^{2} \sqrt{y})$

Passaggio 1.2.3.3

Eleva $\sqrt{y}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}} (x^{2} \sqrt{y})$

Passaggio 1.2.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{1 + 1}} (x^{2} \sqrt{y})$

Passaggio 1.2.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{{\sqrt{y}}^{2}} (x^{2} \sqrt{y})$

Passaggio 1.2.3.6

Riscrivi ${\sqrt{y}}^{2}$ come $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{{(y^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x^{2} \sqrt{y})$

Passaggio 1.2.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x^{2} \sqrt{y})$

Passaggio 1.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} (x^{2} \sqrt{y})$

Passaggio 1.2.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{y^{\frac{2}{2}}} (x^{2} \sqrt{y})$

Passaggio 1.2.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{y^{1}} (x^{2} \sqrt{y})$

Passaggio 1.2.3.6.5

Semplifica.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{\sqrt{y}}{y} (x^{2} \sqrt{y})$

Passaggio 1.2.4

$3$ e $\frac{\sqrt{y}}{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sqrt{y}}{y} (x^{2} \sqrt{y})$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $\frac{3 \sqrt{y}}{y} (x^{2} \sqrt{y})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

$x^{2}$ e $\frac{3 \sqrt{y}}{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (3 \sqrt{y})}{y} \sqrt{y}$

Passaggio 1.2.5.2

$\frac{x^{2} (3 \sqrt{y})}{y}$ e $\sqrt{y}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (3 \sqrt{y}) \sqrt{y}}{y}$

Passaggio 1.2.5.3

Eleva $\sqrt{y}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (3 ({\sqrt{y}}^{1} \sqrt{y}))}{y}$

Passaggio 1.2.5.4

Eleva $\sqrt{y}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (3 ({\sqrt{y}}^{1} {\sqrt{y}}^{1}))}{y}$

Passaggio 1.2.5.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (3 {\sqrt{y}}^{1 + 1})}{y}$

Passaggio 1.2.5.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (3 {\sqrt{y}}^{2})}{y}$

Passaggio 1.2.6

Riscrivi ${\sqrt{y}}^{2}$ come $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 3 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2}}{y}$

Passaggio 1.2.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 3 y^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{y}$

Passaggio 1.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 3 y^{\frac{2}{2}}}{y}$

Passaggio 1.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 3 y^{\frac{2}{2}}}{y}$

Passaggio 1.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 3 y^{1}}{y}$

Passaggio 1.2.6.5

Semplifica.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 3 y}{y}$

Passaggio 1.2.7

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} \cdot 3 y}{y}$

Passaggio 1.2.7.2

Dividi $x^{2} \cdot 3$ per $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} \cdot 3$

Passaggio 1.2.8

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y}} \frac{d y}{d x} = 3 x^{2}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\sqrt{y}} d y = 3 x^{2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} d y = \int 3 x^{2} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{y}$ come $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 3 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.1.2

Sposta $y^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 3 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 3 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.1.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 3 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.1.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 3 x^{2} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $y$ è $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 3 x^{2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 \int x^{2} d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2})$ come $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

$3$ e $\frac{1}{3}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{3}{3} x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 1 x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.3

Moltiplica $x^{3}$ per $1$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = x^{3} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} = x^{3} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y^{\frac{1}{2}} = x^{3} + K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 y^{\frac{1}{2}} = x^{3} + K$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.1.2.2

Dividi $y^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}$

Passaggio 3.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $2$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Semplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{1} = {(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.1.1.2

Semplifica.

$y = {(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ${(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Riscrivi ${(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})}^{2}$ come $(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})$ .

$y = (\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.2

Espandi $(\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}) (\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{x^{3}}{2} (\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (\frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1.1

Combina.

$y = \frac{x^{3} x^{3}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{x^{3 + 3}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.2.2

Somma $3$ e $3$ .

$y = \frac{x^{6}}{2 \cdot 2} + \frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3}}{2} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.4

Combina.

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.5

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{x^{3}}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.6

Combina.

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K x^{3}}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.7

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.8

Moltiplica $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.1.8.1

Moltiplica $\frac{K}{2}$ per $\frac{K}{2}$ .

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.8.2

Eleva $K$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.8.3

Eleva $K$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.8.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.8.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.2.1.3.1.8.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{x^{3} K}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.3.2

Somma $\frac{x^{3} K}{4}$ e $\frac{K x^{3}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.3.2.1

Riordina $x^{3}$ e $K$ .

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.3.2.2

Somma $\frac{K x^{3}}{4}$ e $\frac{K x^{3}}{4}$ .

$y = \frac{x^{6}}{4} + 2 \frac{K x^{3}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$y = \frac{x^{6}}{4} + 2 \frac{K x^{3}}{2 (2)} + \frac{K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x^{6}}{4} + 2 \frac{K x^{3}}{2 \cdot 2} + \frac{K^{2}}{4}$

Passaggio 3.3.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{K x^{3}}{2} + \frac{K^{2}}{4}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{x^{6}}{4} + \frac{K x^{3}}{2} + K$