Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 3 x {(y + 4)}^{2}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{{(y + 4)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 4)}^{2}} (3 x {(y + 4)}^{2})$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} \frac{d y}{d x} = 3 \frac{1}{{(y + 4)}^{2}} (x {(y + 4)}^{2})$

Passaggio 1.2.2

$3$ e $\frac{1}{{(y + 4)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{{(y + 4)}^{2}} (x {(y + 4)}^{2})$

Passaggio 1.2.3

Elimina il fattore comune di ${(y + 4)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Scomponi ${(y + 4)}^{2}$ da $x {(y + 4)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{{(y + 4)}^{2}} ({(y + 4)}^{2} x)$

Passaggio 1.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{{(y + 4)}^{2}} ({(y + 4)}^{2} x)$

Passaggio 1.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} \frac{d y}{d x} = 3 x$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{{(y + 4)}^{2}} d y = 3 x d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{{(y + 4)}^{2}} d y = \int 3 x d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = y + 4$ . Allora $d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = y + 4$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $y + 4$ .

$\frac{d}{d y} [y + 4]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + 4$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [4]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $4$ rispetto a $y$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int 3 x d x$

Passaggio 2.2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int 3 x d x$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int 3 x d x$

Passaggio 2.2.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int 3 x d x$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int 3 x d x$

Passaggio 2.2.4

Riscrivi $- u^{- 1} + C_{1}$ come $- \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int 3 x d x$

Passaggio 2.2.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y + 4$ .

$- \frac{1}{y + 4} + C_{1} = \int 3 x d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{y + 4} + C_{1} = 3 \int x d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{y + 4} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ come $3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{y + 4} + C_{1} = 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

$3$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y + 4} + C_{1} = \frac{3}{2} x^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{y + 4} = \frac{3}{2} x^{2} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

$\frac{3}{2}$ e $x^{2}$ .

$- \frac{1}{y + 4} = \frac{3 x^{2}}{2} + K$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y + 4, 2, 1$

Passaggio 3.2.2

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 3.2.3

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.2.4

Poiché $2$ non presenta fattori eccetto $1$ e $2$ .

$2$ è un numero primo

Passaggio 3.2.5

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.2.6

Il minimo comune multiplo di $1, 2, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$2$

Passaggio 3.2.7

Il fattore di $y + 4$ è $y + 4$ stesso.

$(y + 4) = y + 4$

$(y + 4)$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 3.2.8

Il minimo comune multiplo di $y + 4$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$y + 4$

Passaggio 3.2.9

Il minimo comune multiplo $LCM$ di alcuni numeri è il numero più piccolo di cui i numeri sono fattori.

$2 (y + 4)$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $2 (y + 4)$ ciascun termine in $- \frac{1}{y + 4} = \frac{3 x^{2}}{2} + K$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{y + 4} = \frac{3 x^{2}}{2} + K$ per $2 (y + 4)$ .

$- \frac{1}{y + 4} (2 (y + 4)) = \frac{3 x^{2}}{2} (2 (y + 4)) + K (2 (y + 4))$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $y + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{y + 4}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{y + 4} (2 (y + 4)) = \frac{3 x^{2}}{2} (2 (y + 4)) + K (2 (y + 4))$

Passaggio 3.3.2.1.2

Scomponi $y + 4$ da $2 (y + 4)$ .

$\frac{- 1}{y + 4} ((y + 4) \cdot 2) = \frac{3 x^{2}}{2} (2 (y + 4)) + K (2 (y + 4))$

Passaggio 3.3.2.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{y + 4} ((y + 4) \cdot 2) = \frac{3 x^{2}}{2} (2 (y + 4)) + K (2 (y + 4))$

Passaggio 3.3.2.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- 1 \cdot 2 = \frac{3 x^{2}}{2} (2 (y + 4)) + K (2 (y + 4))$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 = \frac{3 x^{2}}{2} (2 (y + 4)) + K (2 (y + 4))$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 2 = 2 \frac{3 x^{2}}{2} (y + 4) + K (2 (y + 4))$

Passaggio 3.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$- 2 = 2 \frac{3 x^{2}}{2} (y + 4) + K (2 (y + 4))$

Passaggio 3.3.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- 2 = 3 x^{2} (y + 4) + K (2 (y + 4))$

Passaggio 3.3.3.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 = 3 x^{2} y + 3 x^{2} \cdot 4 + K (2 (y + 4))$

Passaggio 3.3.3.1.4

Moltiplica $4$ per $3$ .

$- 2 = 3 x^{2} y + 12 x^{2} + K (2 (y + 4))$

Passaggio 3.3.3.1.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 2 = 3 x^{2} y + 12 x^{2} + 2 K (y + 4)$

Passaggio 3.3.3.1.6

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 = 3 x^{2} y + 12 x^{2} + 2 K y + 2 K \cdot 4$

Passaggio 3.3.3.1.7

Moltiplica $4$ per $2$ .

$- 2 = 3 x^{2} y + 12 x^{2} + 2 K y + 8 K$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $3 x^{2} y + 12 x^{2} + 2 K y + 8 K = - 2$ .

$3 x^{2} y + 12 x^{2} + 2 K y + 8 K = - 2$

Passaggio 3.4.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Sottrai $12 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} y + 2 K y + 8 K = - 2 - 12 x^{2}$

Passaggio 3.4.2.2

Sottrai $8 K$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} y + 2 K y = - 2 - 12 x^{2} - 8 K$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $y$ da $3 x^{2} y + 2 K y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Scomponi $y$ da $3 x^{2} y$ .

$y (3 x^{2}) + 2 K y = - 2 - 12 x^{2} - 8 K$

Passaggio 3.4.3.2

Scomponi $y$ da $2 K y$ .

$y (3 x^{2}) + y (2 K) = - 2 - 12 x^{2} - 8 K$

Passaggio 3.4.3.3

Scomponi $y$ da $y (3 x^{2}) + y (2 K)$ .

$y (3 x^{2} + 2 K) = - 2 - 12 x^{2} - 8 K$

Passaggio 3.4.4

Dividi per $3 x^{2} + 2 K$ ciascun termine in $y (3 x^{2} + 2 K) = - 2 - 12 x^{2} - 8 K$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Dividi per $3 x^{2} + 2 K$ ciascun termine in $y (3 x^{2} + 2 K) = - 2 - 12 x^{2} - 8 K$ .

$\frac{y (3 x^{2} + 2 K)}{3 x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $3 x^{2} + 2 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (3 x^{2} + 2 K)}{3 x^{2} + 2 K} = \frac{- 2}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.4.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 2}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{2}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.4.4.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{2}{3 x^{2} + 2 K} - \frac{12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} + \frac{- 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.4.4.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{2}{3 x^{2} + 2 K} - \frac{12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} - \frac{8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.4.4.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{- 2 - 12 x^{2}}{3 x^{2} + 2 K} - \frac{8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.4.4.3.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{- 2 - 12 x^{2} - 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.4.4.3.2.3

Scomponi $2$ da $- 2 - 12 x^{2} - 8 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.3.2.3.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$y = \frac{2 (- 1) - 12 x^{2} - 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.4.4.3.2.3.2

Scomponi $2$ da $- 12 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (- 1) + 2 (- 6 x^{2}) - 8 K}{3 x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.4.4.3.2.3.3

Scomponi $2$ da $- 8 K$ .

$y = \frac{2 (- 1) + 2 (- 6 x^{2}) + 2 (- 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.4.4.3.2.3.4

Scomponi $2$ da $2 (- 1) + 2 (- 6 x^{2})$ .

$y = \frac{2 (- 1 - 6 x^{2}) + 2 (- 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.4.4.3.2.3.5

Scomponi $2$ da $2 (- 1 - 6 x^{2}) + 2 (- 4 K)$ .

$y = \frac{2 (- 1 - 6 x^{2} - 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.4.4.3.2.4

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$y = \frac{2 (- 1 (1) - 6 x^{2} - 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.4.4.3.2.5

Scomponi $- 1$ da $- 6 x^{2}$ .

$y = \frac{2 (- 1 (1) - (6 x^{2}) - 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.4.4.3.2.6

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (6 x^{2})$ .

$y = \frac{2 (- 1 (1 + 6 x^{2}) - 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.4.4.3.2.7

Scomponi $- 1$ da $- 4 K$ .

$y = \frac{2 (- 1 (1 + 6 x^{2}) - (4 K))}{3 x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.4.4.3.2.8

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1 + 6 x^{2}) - (4 K)$ .

$y = \frac{2 (- 1 (1 + 6 x^{2} + 4 K))}{3 x^{2} + 2 K}$

Passaggio 3.4.4.3.2.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{2 (1 + 6 x^{2} + 4 K)}{3 x^{2} + 2 K}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = - \frac{2 (1 + 6 x^{2} + K)}{3 x^{2} + K}$