Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} + 2 y = 5$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (t) d t}$ , dove $P (t) = 2$ .

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Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int 2 d t}$

Passaggio 1.2

Applica la regola costante.

$e^{2 t + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{2 t}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{2 t}$ .

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + e^{2 t} (2 y) = e^{2 t} \cdot 5$

Passaggio 2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = e^{2 t} \cdot 5$

Passaggio 2.3

Sposta $5$ alla sinistra di $e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 5 \cdot e^{2 t}$

Passaggio 2.4

Riordina i fattori in $e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 e^{2 t} y = 5 e^{2 t}$ .

$e^{2 t} \frac{d y}{d t} + 2 y e^{2 t} = 5 e^{2 t}$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d t} [e^{2 t} y] = 5 e^{2 t}$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d t} [e^{2 t} y] d t = \int 5 e^{2 t} d t$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{2 t} y = \int 5 e^{2 t} d t$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

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Passaggio 6.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$e^{2 t} y = 5 \int e^{2 t} d t$

Passaggio 6.2

Sia $u = 2 t$ . Allora $d u = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.2.1

Sia $u = 2 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 6.2.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 6.2.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 6.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{2 t} y = 5 \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 6.3

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 t} y = 5 \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 6.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{2 t} y = 5 (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Passaggio 6.5

$\frac{1}{2}$ e $5$ .

$e^{2 t} y = \frac{5}{2} \int e^{u} d u$

Passaggio 6.6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{2 t} y = \frac{5}{2} (e^{u} + C)$

Passaggio 6.7

Semplifica.

$e^{2 t} y = \frac{5}{2} e^{u} + C$

Passaggio 6.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 t$ .

$e^{2 t} y = \frac{5}{2} e^{2 t} + C$

Passaggio 7

Dividi per $e^{2 t}$ ciascun termine in $e^{2 t} y = \frac{5}{2} e^{2 t} + C$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi per $e^{2 t}$ ciascun termine in $e^{2 t} y = \frac{5}{2} e^{2 t} + C$ .

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{5}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{2 t}$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{2 t} y}{e^{2 t}} = \frac{\frac{5}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{5}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.3.1

Elimina il fattore comune di $e^{2 t}$ .

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Passaggio 7.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\frac{5}{2} e^{2 t}}{e^{2 t}} + \frac{C}{e^{2 t}}$

Passaggio 7.3.1.2

Dividi $\frac{5}{2}$ per $1$ .

$y = \frac{5}{2} + \frac{C}{e^{2 t}}$