Calcolo Esempi

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} + 2 \frac{d y}{d x} = 4 x$

Passaggio 1

Sia $v = \frac{d y}{d x}$ . Allora $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Sostituisci $v$ a $\frac{d y}{d x}$ e $\frac{d v}{d x}$ a $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ per ottenere un'equazione differenziale con una variabile dipendente $v$ e una variabile indipendente $x$ .

$\frac{d v}{d x} + 2 v = 4 x$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int 2 d x}$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$e^{2 x + C_{1}}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{2 x}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + e^{2 x} (2 v) = e^{2 x} (4 x)$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = e^{2 x} (4 x)$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = 4 e^{2 x} x$

Passaggio 3.4

Riordina i fattori in $e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 e^{2 x} v = 4 e^{2 x} x$ .

$e^{2 x} \frac{d v}{d x} + 2 v e^{2 x} = 4 x e^{2 x}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} v] = 4 x e^{2 x}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} v] d x = \int 4 x e^{2 x} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{2 x} v = \int 4 x e^{2 x} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$e^{2 x} v = 4 \int x e^{2 x} d x$

Passaggio 7.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = 4 (x (\frac{1}{2} e^{2 x}) - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Passaggio 7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = 4 (x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Passaggio 7.3.2

$x$ e $\frac{e^{2 x}}{2}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 x} d x)$

Passaggio 7.3.3

$\frac{1}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x)$

Passaggio 7.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 x} d x))$

Passaggio 7.5

Sia $u_{1} = 2 x$ . Allora $d u_{1} = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Sia $u_{1} = 2 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1.1

Differenzia $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 7.5.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 7.5.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 7.5.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1})$

Passaggio 7.6

$e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1})$

Passaggio 7.7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}))$

Passaggio 7.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 7.8.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u_{1}} d u_{1})$

Passaggio 7.9

L'integrale di $e^{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $e^{u_{1}}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C_{2}))$

Passaggio 7.10

Riscrivi $4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u_{1}} + C_{2}))$ come $4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}}) + C_{2}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{u_{1}}) + C_{2}$

Passaggio 7.11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{1}{2} x e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C_{2}$

Passaggio 7.12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.12.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.12.1.1

$\frac{1}{2}$ e $x$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x}{2} e^{2 x} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C_{2}$

Passaggio 7.12.1.2

$\frac{x}{2}$ e $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 x}) + C_{2}$

Passaggio 7.12.1.3

$e^{2 x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$e^{2 x} v = 4 (\frac{x e^{2 x}}{2} - \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

Passaggio 7.12.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{2 x} v = 4 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

Passaggio 7.12.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.12.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$e^{2 x} v = 2 (2) \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

Passaggio 7.12.3.2

Elimina il fattore comune.

$e^{2 x} v = 2 \cdot 2 \frac{x e^{2 x}}{2} + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

Passaggio 7.12.3.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{2 x} v = 2 (x e^{2 x}) + 4 (- \frac{e^{2 x}}{4}) + C_{2}$

Passaggio 7.12.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.12.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{e^{2 x}}{4}$ nel numeratore.

$e^{2 x} v = 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C_{2}$

Passaggio 7.12.4.2

Elimina il fattore comune.

$e^{2 x} v = 2 (x e^{2 x}) + 4 \frac{- e^{2 x}}{4} + C_{2}$

Passaggio 7.12.4.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{2 x} v = 2 (x e^{2 x}) - e^{2 x} + C_{2}$

$e^{2 x} v = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C_{2}$

Passaggio 8

Dividi per $e^{2 x}$ ciascun termine in $e^{2 x} v = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C_{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per $e^{2 x}$ ciascun termine in $e^{2 x} v = 2 x e^{2 x} - e^{2 x} + C_{2}$ .

$\frac{e^{2 x} v}{e^{2 x}} = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{2 x} v}{e^{2 x}} = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $v$ per $1$ .

$v = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$v = \frac{2 x e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.1.1.2

Dividi $2 x$ per $1$ .

$v = 2 x + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.1.2

Elimina il fattore comune di $e^{2 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$v = 2 x + \frac{- e^{2 x}}{e^{2 x}} + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 8.3.1.2.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$v = 2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $v$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}$

Passaggio 10

Riscrivi l'equazione.

$d y = (2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}}) d x$

Passaggio 11

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Passaggio 11.2

Applica la regola costante.

$y + C_{3} = \int 2 x - 1 + \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Passaggio 11.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{3} = \int 2 x d x + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Passaggio 11.3.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$y + C_{3} = 2 \int x d x + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Passaggio 11.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int - 1 d x + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Passaggio 11.3.4

Applica la regola costante.

$y + C_{3} = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) - x + C_{5} + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Passaggio 11.3.5

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + \int \frac{C_{2}}{e^{2 x}} d x$

Passaggio 11.3.6

Poiché $C_{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $C_{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int \frac{1}{e^{2 x}} d x$

Passaggio 11.3.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.7.1

Nega l'esponente di $e^{2 x}$ e rimuovilo dal denominatore.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int 1 {(e^{2 x})}^{- 1} d x$

Passaggio 11.3.7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.7.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{2 x})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.7.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{2 x \cdot - 1} d x$

Passaggio 11.3.7.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int 1 e^{- 2 x} d x$

Passaggio 11.3.7.2.2

Moltiplica $e^{- 2 x}$ per $1$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int e^{- 2 x} d x$

Passaggio 11.3.8

Sia $u_{2} = - 2 x$ . Allora $d u_{2} = - 2 d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.8.1

Sia $u_{2} = - 2 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.8.1.1

Differenzia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 11.3.8.1.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 11.3.8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 11.3.8.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 11.3.8.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 11.3.9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.9.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Passaggio 11.3.9.2

$e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} \int - \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2}$

Passaggio 11.3.10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} (- \int \frac{e^{u_{2}}}{2} d u_{2})$

Passaggio 11.3.11

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}))$

Passaggio 11.3.12

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$y + C_{3} = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) - x + C_{5} + C_{2} (- \frac{1}{2} (e^{u_{2}} + C_{6}))$

Passaggio 11.3.13

Semplifica.

$y + C_{3} = x^{2} - x + C_{2} (- \frac{1}{2} e^{u_{2}}) + C_{7}$

Passaggio 11.3.14

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- 2 x$ .

$y + C_{3} = x^{2} - x + C_{2} (- \frac{1}{2} e^{- 2 x}) + C_{7}$

Passaggio 11.3.15

Riordina i termini.

$y + C_{3} = x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} C_{2} - x + C_{7}$

Passaggio 11.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $D$ .

$y = x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} C - x + D$