Calcolo Esempi

$e^{2 x} d y + (2 e^{2 x} y - x) d x = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale per adattarla alla tecnica di equazione differenziale esatta.

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Passaggio 1.1

Riscrivi.

$(2 e^{2 x} y - x) d x + e^{2 x} d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = 2 e^{2 x} y - x$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y - x]$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 e^{2 x} y - x$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d y} [2 e^{2 x} y]$ .

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Passaggio 2.3.1

Poiché $2 e^{2 x}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 e^{2 x} y$ rispetto a $y$ è $2 e^{2 x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} + \frac{d}{d y} [- x]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 2.4.1

Poiché $- x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x} + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $2 e^{2 x}$ e $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{2 x}$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = e^{2 x}$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 3.3

Differenzia.

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Passaggio 3.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} (2 \cdot 1)$

Passaggio 3.3.3

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.3.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = e^{2 x} \cdot 2$

Passaggio 3.3.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{2 x}$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Passaggio 4.1

Sostituisci $2 e^{2 x}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $2 e^{2 x}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$2 e^{2 x} = 2 e^{2 x}$

Passaggio 4.2

Dato che è stato dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$2 e^{2 x} = 2 e^{2 x}$ è un'identità.

Passaggio 5

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{2 x} d y$

Passaggio 6

Integra $N (x, y) = e^{2 x}$ per trovare $f (x, y)$ .

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Passaggio 6.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = e^{2 x} y + C$

Passaggio 7

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = e^{2 x} y + g (x)$

Passaggio 8

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 e^{2 x} y - x$

Passaggio 9

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Passaggio 9.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y + g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Passaggio 9.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{2 x} y + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Passaggio 9.3

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{2 x} y]$ .

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Passaggio 9.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $e^{2 x} y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Passaggio 9.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 9.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Passaggio 9.3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$y (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Passaggio 9.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$y (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Passaggio 9.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Passaggio 9.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Passaggio 9.3.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$y (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Passaggio 9.3.6

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$y (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Passaggio 9.3.7

Sposta $2$ alla sinistra di $y$ .

$2 y e^{2 x} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 e^{2 x} y - x$

Passaggio 9.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y e^{2 x} + \frac{d g}{d x} = 2 e^{2 x} y - x$

Passaggio 9.5

Semplifica.

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Passaggio 9.5.1

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} y = 2 e^{2 x} y - x$

Passaggio 9.5.2

Riordina i fattori in $\frac{d g}{d x} + 2 e^{2 x} y$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 y e^{2 x} = 2 e^{2 x} y - x$

Passaggio 10

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

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Passaggio 10.1

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Riordina i fattori in $2 e^{2 x} y - x$ .

$\frac{d g}{d x} + 2 y e^{2 x} = 2 y e^{2 x} - x$

Passaggio 10.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d g}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 10.1.2.1

Sottrai $2 y e^{2 x}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = 2 y e^{2 x} - x - 2 y e^{2 x}$

Passaggio 10.1.2.2

Combina i termini opposti in $2 y e^{2 x} - x - 2 y e^{2 x}$ .

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Passaggio 10.1.2.2.1

Sottrai $2 y e^{2 x}$ da $2 y e^{2 x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - x + 0$

Passaggio 10.1.2.2.2

Somma $- x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x$

Passaggio 11

Trova l'antiderivata di $- x$ per trovare $g (x)$ .

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Passaggio 11.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = - x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x d x$

Passaggio 11.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x d x$

Passaggio 11.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$g (x) = - \int x d x$

Passaggio 11.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Passaggio 11.5

Riscrivi $- (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ come $- \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 12

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = e^{2 x} y + g (x)$ .

$f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 13

Semplifica $f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

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Passaggio 13.1

$x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{x^{2}}{2} + C$

Passaggio 13.2

Riordina i fattori in $f (x, y) = e^{2 x} y - \frac{x^{2}}{2} + C$ .

$f (x, y) = y e^{2 x} - \frac{x^{2}}{2} + C$