Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{x + 16}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = \sqrt{x + 16} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \sqrt{x + 16} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \sqrt{x + 16} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Sia $u = x + 16$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = x + 16$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $x + 16$ .

$\frac{d}{d x} [x + 16]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 16$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [16]$

Passaggio 2.3.1.1.4

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 2.3.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 16$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} {(x + 16)}^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{2}{3} {(x + 16)}^{\frac{3}{2}} + K$