Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{(x \sin (x))}{y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \sin (x)}{y}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \sin (x)}{y}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d x} = x \sin (x)$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y d y = x \sin (x) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int x \sin (x) d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x \sin (x) d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = \sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.3.3.2

Moltiplica $\int \cos (x) d x$ per $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

Passaggio 2.3.4

L'integrale di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2}$

Passaggio 2.3.5

Riscrivi $x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2}$ come $- x \cos (x) + \sin (x) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x \cos (x) + \sin (x) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - x \cos (x) + \sin (x) + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 2 (- x \cos (x)) + 2 \sin (x) + 2 K$

Passaggio 3.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y^{2} = - 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{- 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 K}$

Passaggio 3.4

Scomponi $2$ da $- 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 K$ .

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Passaggio 3.4.1

Scomponi $2$ da $- 2 x \cos (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x)) + 2 \sin (x) + 2 K}$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $2$ da $2 \sin (x)$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x)) + 2 (\sin (x)) + 2 K}$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $2$ da $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x)) + 2 (\sin (x)) + 2 K}$

Passaggio 3.4.4

Scomponi $2$ da $2 (- x \cos (x)) + 2 (\sin (x))$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x)) + 2 K}$

Passaggio 3.4.5

Scomponi $2$ da $2 (- x \cos (x) + \sin (x)) + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$