Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 x}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

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Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{3 x}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{3 x}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 x}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{3 x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{3 x} d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{3 x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.1.1

$\frac{1}{3}$ e $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| x |)}{3} + C$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x |)}{3} = C$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica $\ln (| y |) - \frac{\ln (| x |)}{3}$ .

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Passaggio 3.3.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.3.1.1.1

Riscrivi $\frac{\ln (| x |)}{3}$ come $\frac{1}{3} \ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) - (\frac{1}{3} \ln (| x |)) = C$

Passaggio 3.3.1.1.2

Semplifica $\frac{1}{3} \ln (| x |)$ spostando $\frac{1}{3}$ all'interno del logaritmo.

$\ln (| y |) - \ln ({| x |}^{\frac{1}{3}}) = C$

Passaggio 3.3.1.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}}) = C$

Passaggio 3.4

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}})} = e^{C}$

Passaggio 3.5

Riscrivi $\ln (\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}}) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 3.6

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.6.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} = e^{C}$

Passaggio 3.6.2

Moltiplica ogni lato per ${| x |}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} {| x |}^{\frac{1}{3}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 3.6.3

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.6.3.1

Elimina il fattore comune di ${| x |}^{\frac{1}{3}}$ .

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Passaggio 3.6.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| y |}{{| x |}^{\frac{1}{3}}} {| x |}^{\frac{1}{3}} = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 3.6.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| y | = e^{C} {| x |}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 3.6.4

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{C} {| x |}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm C {| x |}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.2

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C {| x |}^{\frac{1}{3}}$