Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = 2 - \frac{3 y}{25 + 2 t}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d t} + M (t) y = Q (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione come $M (t) \frac{d y}{d t} + P (t) y = Q (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Somma $\frac{3 y}{25 + 2 t}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d t} + \frac{3 y}{25 + 2 t} = 2$

Passaggio 1.1.2

Riordina i termini.

$\frac{d y}{d t} + \frac{3 y}{2 t + 25} = 2$

Passaggio 1.2

Scomponi $y$ da $\frac{3 y}{2 t + 25}$ .

$\frac{d y}{d t} + y \frac{3}{2 t + 25} = 2$

Passaggio 1.3

Riordina $y$ e $\frac{3}{2 t + 25}$ .

$\frac{d y}{d t} + \frac{3}{2 t + 25} y = 2$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (t) d t}$ , dove $P (t) = \frac{3}{2 t + 25}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{3}{2 t + 25} d t}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{3}{2 t + 25}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$e^{3 \int \frac{1}{2 t + 25} d t}$

Passaggio 2.2.2

Sia $u = 2 t + 25$ . Allora $d u = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sia $u = 2 t + 25$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.1

Differenzia $2 t + 25$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 25]$

Passaggio 2.2.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 t + 25$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$

Passaggio 2.2.2.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25]$

Passaggio 2.2.2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25]$

Passaggio 2.2.2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [25]$

Passaggio 2.2.2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1.4.1

Poiché $25$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $25$ rispetto a $t$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 2.2.2.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 2.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$e^{3 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Passaggio 2.2.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$e^{3 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Passaggio 2.2.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Passaggio 2.2.5

$\frac{1}{2}$ e $3$ .

$e^{\frac{3}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Passaggio 2.2.6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$e^{\frac{3}{2} (\ln (| u |) + C)}$

Passaggio 2.2.7

Semplifica.

$e^{\frac{3}{2} \ln (| u |) + C}$

Passaggio 2.2.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 t + 25$ .

$e^{\frac{3}{2} \ln (| 2 t + 25 |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{\frac{3}{2} \ln (2 t + 25)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln ({(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (\frac{3}{2 t + 25} y) = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{3}{2 t + 25}$ e $y$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{3 y}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Passaggio 3.2.2

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{3 y}{2 t + 25}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (3 y)}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $2 t + 25$ da ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} (3 y)$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{2 t + 25} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Passaggio 3.2.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Moltiplica per $1$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{(2 t + 25) \cdot 1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Passaggio 3.2.4.2

Elimina il fattore comune.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{(2 t + 25) ({(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y))}{(2 t + 25) \cdot 1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Passaggio 3.2.4.3

Riscrivi l'espressione.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + \frac{{(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y)}{1} = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Passaggio 3.2.4.4

Dividi ${(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y)$ per $1$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} (3 y) = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Passaggio 3.2.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \cdot 2$

Passaggio 3.3

Sposta $2$ alla sinistra di ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = 2 \cdot {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 3.4

Riordina i fattori in ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} y = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} \frac{d y}{d t} + 3 y {(2 t + 25)}^{\frac{1}{2}} = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d t} [{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y] = 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d t} [{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y] d t = \int 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \int 2 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} d t$

Passaggio 7.2

Sia $u = 2 t + 25$ . Allora $d u = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Sia $u = 2 t + 25$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Differenzia $2 t + 25$ .

$\frac{d}{d t} [2 t + 25]$

Passaggio 7.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 t + 25$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [25]$

Passaggio 7.2.1.3

Calcola $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25]$

Passaggio 7.2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25]$

Passaggio 7.2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d t} [25]$

Passaggio 7.2.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.4.1

Poiché $25$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $25$ rispetto a $t$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 7.2.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 7.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int u^{\frac{3}{2}} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 7.3

$u^{\frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 \int \frac{u^{\frac{3}{2}}}{2} d u$

Passaggio 7.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 2 (\frac{1}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Passaggio 7.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 7.5.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1

Elimina il fattore comune.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{2} \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 7.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = 1 \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 7.5.3

Moltiplica $\int u^{\frac{3}{2}} d u$ per $1$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \int u^{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 7.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 7.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 t + 25$ .

${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$

Passaggio 8

Dividi per ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ ciascun termine in ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Dividi per ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}$ ciascun termine in ${(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y = \frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C$ .

$\frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}} y}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 8.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}} + \frac{C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\frac{2}{5} {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 8.3.2

$\frac{2}{5}$ e ${(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + C}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 8.3.3

Per scrivere $C$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + C \cdot \frac{5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 8.3.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.1

$C$ e $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}}}{5} + \frac{C \cdot 5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 8.3.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + C \cdot 5}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 8.3.5

Sposta $5$ alla sinistra di $C$ .

$y = \frac{\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5}}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 8.3.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5} \cdot \frac{1}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 8.3.7

Moltiplica $\frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5}$ per $\frac{1}{{(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$y = \frac{2 {(2 t + 25)}^{\frac{5}{2}} + 5 C}{5 {(2 t + 25)}^{\frac{3}{2}}}$