Calcolo Esempi

$x y \frac{d y}{d x} + y^{2} = \frac{1}{y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Risolvi per $\frac{d y}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x y \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} - y^{2}$

Passaggio 1.1.2

Dividi per $x y$ ciascun termine in $x y \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} - y^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi per $x y$ ciascun termine in $x y \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} - y^{2}$ .

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{\frac{1}{y}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{\frac{1}{y}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Passaggio 1.1.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{\frac{1}{y}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Passaggio 1.1.2.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{\frac{1}{y}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Passaggio 1.1.2.2.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{1}{y}}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{1}{x y} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Moltiplica $\frac{1}{y} \cdot \frac{1}{x y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{y}$ per $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y (x y)} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x (y^{1} y)} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.3

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x (y^{1} y^{1})} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{1 + 1}} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{- y^{2}}{x y}$

Passaggio 1.1.2.3.1.3

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ e $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.3.1

Scomponi $y$ da $- y^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{y (- y)}{x y}$

Passaggio 1.1.2.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.3.2.1

Scomponi $y$ da $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{y (- y)}{y x}$

Passaggio 1.1.2.3.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{y (- y)}{y x}$

Passaggio 1.1.2.3.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} + \frac{- y}{x}$

Passaggio 1.1.2.3.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} - \frac{y}{x}$

Passaggio 1.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per scrivere $- \frac{y}{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} - \frac{y}{x} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $\frac{y}{x}$ per $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x y^{2}} - \frac{y \cdot y^{2}}{x y^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - y \cdot y^{2}}{x y^{2}}$

Passaggio 1.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - y \cdot y^{2}}{x y^{2}}$

Passaggio 1.2.4.2

Riscrivi $y \cdot y^{2}$ come $y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - (y^{1} y^{2})}{x y^{2}}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - y^{1 + 2}}{x y^{2}}$

Passaggio 1.2.4.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{3} - y^{3}}{x y^{2}}$

Passaggio 1.2.4.3

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = 1$ e $b = y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1^{2} + 1 y + y^{2})}{x y^{2}}$

Passaggio 1.2.4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.4.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + 1 y + y^{2})}{x y^{2}}$

Passaggio 1.2.4.4.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2})}{x y^{2}}$

Passaggio 1.3

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2})}{y^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni lato per $\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})}$ .

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} (\frac{(1 - y) (1 + y + y^{2})}{y^{2}} \cdot \frac{1}{x})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Combina.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \cdot \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1}{y^{2} x}$

Passaggio 1.5.2

Combina.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} ((1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1)}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) (y^{2} x)}$

Passaggio 1.5.3

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} ((1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1)}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) (y^{2} x)}$

Passaggio 1.5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) (x)}$

Passaggio 1.5.4

Elimina il fattore comune di $1 - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) (1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 - y) (1 + y + y^{2}) x}$

Passaggio 1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 + y + y^{2}) (x)}$

Passaggio 1.5.5

Elimina il fattore comune di $1 + y + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y + y^{2}) \cdot 1}{(1 + y + y^{2}) x}$

Passaggio 1.5.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 1.6

Riscrivi l'equazione.

$\frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} d y = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y^{2}}{(1 - y) (1 + y + y^{2})} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = (1 - y) (1 + y + y^{2})$ . Allora $d u = - 3 y^{2} d y$ , quindi $- \frac{1}{3} d u = y^{2} d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = (1 - y) (1 + y + y^{2})$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $(1 - y) (1 + y + y^{2})$ .

$\frac{d}{d y} [(1 - y) (1 + y + y^{2})]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = 1 - y$ e $g (y) = 1 + y + y^{2}$ .

$(1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y + y^{2}] + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + y + y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$(1 - y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

Passaggio 2.2.1.1.3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$(1 - y) (0 + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

Passaggio 2.2.1.1.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 - y) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

Passaggio 2.2.1.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(1 - y) (1 + \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

Passaggio 2.2.1.1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [1 - y]$

Passaggio 2.2.1.1.3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y])$

Passaggio 2.2.1.1.3.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

Passaggio 2.2.1.1.3.8

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) \frac{d}{d y} [- y]$

Passaggio 2.2.1.1.3.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (- \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 2.2.1.1.3.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 2.2.1.1.3.11

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.3.11.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) + (1 + y + y^{2}) \cdot - 1$

Passaggio 2.2.1.1.3.11.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $1 + y + y^{2}$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) - 1 \cdot (1 + y + y^{2})$

Passaggio 2.2.1.1.3.11.3

Riscrivi $- 1 (1 + y + y^{2})$ come $- (1 + y + y^{2})$ .

$(1 - y) (1 + 2 y) - (1 + y + y^{2})$

Passaggio 2.2.1.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$(1 - y) (1 + 2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$(1 - y) \cdot 1 + (1 - y) (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.4.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot 1 - y \cdot 1 + (1 - y) (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.4.4

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot 1 - y \cdot 1 + 1 (2 y) - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.4.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.4.5.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$1 - y \cdot 1 + 1 (2 y) - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.4.5.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$1 - y + 1 (2 y) - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.4.5.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$1 - y + 2 y - y (2 y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.4.5.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$1 - y + 2 y - 2 y \cdot y - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.4.5.5

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$1 - y + 2 y - 2 (y^{1} y) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.4.5.6

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$1 - y + 2 y - 2 (y^{1} y^{1}) - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.4.5.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 - y + 2 y - 2 y^{1 + 1} - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.4.5.8

Somma $1$ e $1$ .

$1 - y + 2 y - 2 y^{2} - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.4.5.9

Somma $- y$ e $2 y$ .

$1 + y - 2 y^{2} - 1 \cdot 1 - y - y^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.4.5.10

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$1 + y - 2 y^{2} - 1 - y - y^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.4.5.11

Sottrai $1$ da $1$ .

$y - 2 y^{2} + 0 - y - y^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.4.5.12

Somma $y - 2 y^{2}$ e $0$ .

$y - 2 y^{2} - y - y^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.4.5.13

Sottrai $y$ da $y$ .

$- 2 y^{2} + 0 - y^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.4.5.14

Somma $- 2 y^{2}$ e $0$ .

$- 2 y^{2} - y^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.4.5.15

Sottrai $y^{2}$ da $- 2 y^{2}$ .

$- 3 y^{2}$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{3}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.2.3

Sposta $3$ alla sinistra di $u$ .

$\int - \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{3 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.5

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{3} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$- \frac{1}{3} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $(1 - y) (1 + y + y^{2})$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- 3$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| (1 - y) (1 + y + y^{2}) |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Espandi $(1 - y) (1 + y + y^{2})$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 y + 1 y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + 1 y + 1 y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.1.2

Moltiplica $y$ per $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + 1 y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.1.3

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y \cdot 1 - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y \cdot y - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.1.5

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1.5.1

Sposta $y$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - (y \cdot y) - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.1.5.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y \cdot y^{2} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.1.6

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1.6.1

Sposta $y^{2}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - (y^{2} y) |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.1.6.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1.6.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - (y^{2} y^{1}) |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.1.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y^{2 + 1} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.1.6.3

Somma $2$ e $1$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.2.1

Combina i termini opposti in $1 + y + y^{2} - y - y^{2} - y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.2.1.1

Sottrai $y$ da $y$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} + 0 - y^{2} - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2.1.2

Somma $1 + y^{2}$ e $0$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + y^{2} - y^{2} - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2.1.3

Sottrai $y^{2}$ da $y^{2}$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 + 0 - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2.1.4

Somma $1$ e $0$ .

$- 3 (- \frac{1}{3} \ln (| 1 - y^{3} |)) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2.2

$\ln (| 1 - y^{3} |)$ e $\frac{1}{3}$ .

$- 3 (- \frac{\ln (| 1 - y^{3} |)}{3}) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.2.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\ln (| 1 - y^{3} |)}{3}$ nel numeratore.

$- 3 \frac{- \ln (| 1 - y^{3} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2.3.2

Scomponi $3$ da $- 3$ .

$3 (- 1) \frac{- \ln (| 1 - y^{3} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2.3.3

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 1 - y^{3} |)}{3} = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2.3.4

Riscrivi l'espressione.

$- - \ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2.4

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2.4.2

Moltiplica $\ln (| 1 - y^{3} |)$ per $1$ .

$\ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 1 - y^{3} |) = - 3 \ln (| x |) - 3 C$

Passaggio 3.3

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| 1 - y^{3} |) + 3 \ln (| x |) = - 3 C$

Passaggio 3.4

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.4.1

Semplifica $\ln (| 1 - y^{3} |) + 3 \ln (| x |)$ .

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Passaggio 3.4.1.1

Semplifica $3 \ln (| x |)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$\ln (| 1 - y^{3} |) + \ln ({| x |}^{3}) = - 3 C$

Passaggio 3.4.1.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}) = - 3 C$

Passaggio 3.5

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| 1 - y^{3} | {| x |}^{3})} = e^{- 3 C}$

Passaggio 3.6

Riscrivi $\ln (| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}) = - 3 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 3 C} = | 1 - y^{3} | {| x |}^{3}$

Passaggio 3.7

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.7.1

Riscrivi l'equazione come $| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ .

$| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$

Passaggio 3.7.2

Dividi per ${| x |}^{3}$ ciascun termine in $| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ e semplifica.

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Passaggio 3.7.2.1

Dividi per ${| x |}^{3}$ ciascun termine in $| 1 - y^{3} | {| x |}^{3} = e^{- 3 C}$ .

$\frac{| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Passaggio 3.7.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.7.2.2.1

Elimina il fattore comune di ${| x |}^{3}$ .

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Passaggio 3.7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| 1 - y^{3} | {| x |}^{3}}{{| x |}^{3}} = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Passaggio 3.7.2.2.1.2

Dividi $| 1 - y^{3} |$ per $1$ .

$| 1 - y^{3} | = \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Passaggio 3.7.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$1 - y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}$

Passaggio 3.7.4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$

Passaggio 3.7.5

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$ e semplifica.

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Passaggio 3.7.5.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y^{3} = \pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}} - 1$ .

$\frac{- y^{3}}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.7.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.7.5.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y^{3}}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.7.5.2.2

Dividi $y^{3}$ per $1$ .

$y^{3} = \frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.7.5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.7.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.7.5.3.1.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}}{- 1}$ .

$y^{3} = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.7.5.3.1.2

Riscrivi $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ come $- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}})$ .

$y^{3} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 3.7.5.3.1.3

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$y^{3} = - (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 1$

Passaggio 3.7.6

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{- (\pm \frac{e^{- 3 C}}{{| x |}^{3}}) + 1}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \sqrt[3]{- (\pm \frac{C}{{| x |}^{3}}) + 1}$

Passaggio 4.2

Combina costanti con il più o il meno.

$y = \sqrt[3]{- (C \frac{1}{{| x |}^{3}}) + 1}$