Calcolo Esempi

$(x + 2) d x - x d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $(x + 2) d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x d y = - (x + 2) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} (- x) d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- \frac{1}{x} x d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

Passaggio 3.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{x} x d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{x} x d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 d y = \frac{1}{x} (- (x + 2)) d x$

Passaggio 3.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- 1 d y = - \frac{1}{x} (x + 2) d x$

Passaggio 3.4

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 d y = (- \frac{1}{x} x - \frac{1}{x} \cdot 2) d x$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x}$ nel numeratore.

$- 1 d y = (\frac{- 1}{x} x - \frac{1}{x} \cdot 2) d x$

Passaggio 3.5.2

Elimina il fattore comune.

$- 1 d y = (\frac{- 1}{x} x - \frac{1}{x} \cdot 2) d x$

Passaggio 3.5.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 d y = (- 1 - \frac{1}{x} \cdot 2) d x$

Passaggio 3.6

Moltiplica $- \frac{1}{x} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 1 d y = (- 1 - 2 \frac{1}{x}) d x$

Passaggio 3.6.2

$- 2$ e $\frac{1}{x}$ .

$- 1 d y = (- 1 + \frac{- 2}{x}) d x$

Passaggio 3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 1 d y = (- 1 - \frac{2}{x}) d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int - 1 d y = \int - 1 - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4.2

Applica la regola costante.

$- y + C_{1} = \int - 1 - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$- y + C_{1} = \int - 1 d x + \int - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4.3.2

Applica la regola costante.

$- y + C_{1} = - x + C_{2} + \int - \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4.3.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- y + C_{1} = - x + C_{2} - \int \frac{2}{x} d x$

Passaggio 4.3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- y + C_{1} = - x + C_{2} - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- y + C_{1} = - x + C_{2} - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.6

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- y + C_{1} = - x + C_{2} - 2 (\ln (| x |) + C_{3})$

Passaggio 4.3.7

Semplifica.

$- y + C_{1} = - x - 2 \ln (| x |) + C_{4}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- y = - x - 2 \ln (| x |) + C$

Passaggio 5

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = - x - 2 \ln (| x |) + C$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- y = - x - 2 \ln (| x |) + C$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{- x}{- 1} + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 5.2.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- x}{- 1} + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y = \frac{x}{1} + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 5.3.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$y = x + \frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 5.3.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{- 2 \ln (| x |)}{- 1}$ .

$y = x - 1 \cdot (- 2 \ln (| x |)) + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 5.3.1.4

Riscrivi $- 1 \cdot (- 2 \ln (| x |))$ come $- (- 2 \ln (| x |))$ .

$y = x - (- 2 \ln (| x |)) + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 5.3.1.5

Moltiplica $- (- 2 \ln (| x |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.5.1

Semplifica $- 2 \ln (| x |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$y = x - - \ln ({| x |}^{2}) + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 5.3.1.5.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y = x + 1 \ln ({| x |}^{2}) + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 5.3.1.5.3

Moltiplica $\ln ({| x |}^{2})$ per $1$ .

$y = x + \ln ({| x |}^{2}) + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 5.3.1.6

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$y = x + \ln (x^{2}) + \frac{C}{- 1}$

Passaggio 5.3.1.7

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{C}{- 1}$ .

$y = x + \ln (x^{2}) - 1 \cdot C$

Passaggio 5.3.1.8

Riscrivi $- 1 \cdot C$ come $- C$ .

$y = x + \ln (x^{2}) - C$

Passaggio 6

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = x + \ln (x^{2}) + C$