Calcolo Esempi

$\frac{d u}{d t} = \frac{(u + 1) (t + 1)}{(u + 2) (t - 1)}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Raggruppa i fattori.

$\frac{d u}{d t} = \frac{u + 1}{u + 2} \cdot \frac{t + 1}{t - 1}$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{u + 2}{u + 1}$ .

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{u + 2}{u + 1} (\frac{u + 1}{u + 2} \cdot \frac{t + 1}{t - 1})$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $\frac{u + 1}{u + 2}$ per $\frac{t + 1}{t - 1}$ .

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{u + 2}{u + 1} \cdot \frac{(u + 1) (t + 1)}{(u + 2) (t - 1)}$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $u + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{u + 2}{u + 1} \cdot \frac{(u + 1) (t + 1)}{(u + 2) (t - 1)}$

Passaggio 1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{u + 1} \cdot \frac{(u + 1) (t + 1)}{t - 1}$

Passaggio 1.3.3

Elimina il fattore comune di $u + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{u + 1} \cdot \frac{(u + 1) (t + 1)}{t - 1}$

Passaggio 1.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{u + 2}{u + 1} \frac{d u}{d t} = \frac{t + 1}{t - 1}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{u + 2}{u + 1} d u = \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{u + 2}{u + 1} d u = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Dividi $u + 2$ per $u + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$u$

$1$

$u$

$2$

Passaggio 2.2.1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $u$ per il termine di ordine più alto nel divisore $u$ .

					$1$
	$u$	+	$1$		$u$	+	$2$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$1$
$u$	+	$1$		$u$	+	$2$
			+	$u$	+	$1$

Passaggio 2.2.1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $u + 1$

				$1$
$u$	+	$1$		$u$	+	$2$
			-	$u$	-	$1$

Passaggio 2.2.1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$1$
$u$	+	$1$		$u$	+	$2$
			-	$u$	-	$1$
					+	$1$

Passaggio 2.2.1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int 1 + \frac{1}{u + 1} d u = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Passaggio 2.2.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d u + \int \frac{1}{u + 1} d u = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Passaggio 2.2.3

Applica la regola costante.

$u + C_{1} + \int \frac{1}{u + 1} d u = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Passaggio 2.2.4

Sia $u_{1} = u + 1$ . Allora $d u_{1} = d u$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Sia $u_{1} = u + 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d u}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1.1

Differenzia $u + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u + 1]$

Passaggio 2.2.4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $u + 1$ rispetto a $u$ è $\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$ .

$\frac{d}{d u} [u] + \frac{d}{d u} [1]$

Passaggio 2.2.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d u} [1]$

Passaggio 2.2.4.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $u$ , la derivata di $1$ rispetto a $u$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.2.4.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.2.4.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$u + C_{1} + \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Passaggio 2.2.5

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$u + C_{1} + \ln (| u_{1} |) + C_{2} = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Passaggio 2.2.6

Semplifica.

$u + \ln (| u_{1} |) + C_{3} = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Passaggio 2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $u + 1$ .

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = \int \frac{t + 1}{t - 1} d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi $t + 1$ per $t - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$t$

$1$

$t$

$1$

Passaggio 2.3.1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $t$ per il termine di ordine più alto nel divisore $t$ .

					$1$
	$t$	-	$1$		$t$	+	$1$

Passaggio 2.3.1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$1$
$t$	-	$1$		$t$	+	$1$
			+	$t$	-	$1$

Passaggio 2.3.1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $t - 1$

				$1$
$t$	-	$1$		$t$	+	$1$
			-	$t$	+	$1$

Passaggio 2.3.1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$1$
$t$	-	$1$		$t$	+	$1$
			-	$t$	+	$1$
					+	$2$

Passaggio 2.3.1.6

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = \int 1 + \frac{2}{t - 1} d t$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = \int d t + \int \frac{2}{t - 1} d t$

Passaggio 2.3.3

Applica la regola costante.

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + C_{4} + \int \frac{2}{t - 1} d t$

Passaggio 2.3.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + C_{4} + 2 \int \frac{1}{t - 1} d t$

Passaggio 2.3.5

Sia $u_{2} = t - 1$ . Allora $d u_{2} = d t$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Sia $u_{2} = t - 1$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.1

Differenzia $t - 1$ .

$\frac{d}{d t} [t - 1]$

Passaggio 2.3.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $t - 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.3.5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d t} [- 1]$

Passaggio 2.3.5.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.5.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + C_{4} + 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + C_{4} + 2 (\ln (| u_{2} |) + C_{5})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + 2 \ln (| u_{2} |) + C_{6}$

Passaggio 2.3.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $t - 1$ .

$u + \ln (| u + 1 |) + C_{3} = t + 2 \ln (| t - 1 |) + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$u + \ln (| u + 1 |) = t + 2 \ln (| t - 1 |) + C$