Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}} + \frac{y}{x}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come una funzione di $\frac{y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi la frazione $\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2}}$ in due frazioni.

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- y^{2}}{x^{2}}} + \frac{y}{x}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{- y^{2}}{x^{2}}} + \frac{y}{x}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{1 + \frac{- y^{2}}{x^{2}}} + \frac{y}{x}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{x^{2}}} + \frac{y}{x}$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{y^{2}}{x^{2}}$ come ${(\frac{y}{x})}^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - {(\frac{y}{x})}^{2}} + \frac{y}{x}$

Passaggio 2

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{1 - V^{2}} + V$

Passaggio 3

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 4

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 5

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \sqrt{1 - V^{2}} + V$

Passaggio 6

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.1.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \sqrt{1^{2} - V^{2}} + V$

Passaggio 6.1.1.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \sqrt{(1 + V) (1 - V)} + V$

Passaggio 6.1.1.2

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d V}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.1

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)} + V - V$

Passaggio 6.1.1.2.2

Combina i termini opposti in $\sqrt{(1 + V) (1 - V)} + V - V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.2.2.1

Sottrai $V$ da $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)} + 0$

Passaggio 6.1.1.2.2.2

Somma $\sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ e $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$

Passaggio 6.1.1.3

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = \sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Passaggio 6.1.1.3.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Passaggio 6.1.3

Elimina il fattore comune di $\sqrt{(1 + V) (1 - V)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}}{x}$

Passaggio 6.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 6.1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} d V = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{\sqrt{(1 + V) (1 - V)}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Completa il quadrato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.1

Espandi $(1 + V) (1 - V)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 6.2.2.1.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 (1 - V) + V (1 - V)$

Passaggio 6.2.2.1.1.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- V) + V (1 - V)$

Passaggio 6.2.2.1.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cdot 1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)$

Passaggio 6.2.2.1.1.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.2.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$1 + 1 (- V) + V \cdot 1 + V (- V)$

Passaggio 6.2.2.1.1.2.1.2

Moltiplica $- V$ per $1$ .

$1 - V + V \cdot 1 + V (- V)$

Passaggio 6.2.2.1.1.2.1.3

Moltiplica $V$ per $1$ .

$1 - V + V + V (- V)$

Passaggio 6.2.2.1.1.2.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 - V + V - V \cdot V$

Passaggio 6.2.2.1.1.2.1.5

Moltiplica $V$ per $V$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.1.2.1.5.1

Sposta $V$ .

$1 - V + V - (V \cdot V)$

Passaggio 6.2.2.1.1.2.1.5.2

Moltiplica $V$ per $V$ .

$1 - V + V - V^{2}$

Passaggio 6.2.2.1.1.2.2

Somma $- V$ e $V$ .

$1 + 0 - V^{2}$

Passaggio 6.2.2.1.1.2.3

Somma $1$ e $0$ .

$1 - V^{2}$

Passaggio 6.2.2.1.1.3

Riordina $1$ e $- V^{2}$ .

$- V^{2} + 1$

Passaggio 6.2.2.1.2

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 0$

$c = 1$

Passaggio 6.2.2.1.3

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 6.2.2.1.4

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.4.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 6.2.2.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.4.2.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.4.2.1.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 6.2.2.1.4.2.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{0}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 0$

Passaggio 6.2.2.1.4.2.2

Riscrivi $- 1 \cdot 0$ come $- 0$ .

$d = - 0$

Passaggio 6.2.2.1.4.2.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$d = 0$

Passaggio 6.2.2.1.5

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.5.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{0^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 6.2.2.1.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1.5.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$e = 1 - \frac{0}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 6.2.2.1.5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$e = 1 - \frac{0}{- 4}$

Passaggio 6.2.2.1.5.2.1.3

Dividi $0$ per $- 4$ .

$e = 1 - 0$

Passaggio 6.2.2.1.5.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e = 1 + 0$

Passaggio 6.2.2.1.5.2.2

Somma $1$ e $0$ .

$e = 1$

Passaggio 6.2.2.1.6

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $- {(V + 0)}^{2} + 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(V + 0)}^{2} + 1}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.2

Sia $u = V + 0$ . Allora $d u = d V$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Sia $u = V + 0$ . Trova $\frac{d u}{d V}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.1

Differenzia $V + 0$ .

$\frac{d}{d V} [V + 0]$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $V + 0$ rispetto a $V$ è $\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$ .

$\frac{d}{d V} [V] + \frac{d}{d V} [0]$

Passaggio 6.2.2.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ è $n V^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d V} [0]$

Passaggio 6.2.2.2.1.4

Poiché $0$ è costante rispetto a $V$ , la derivata di $0$ rispetto a $V$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 6.2.2.2.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 6.2.2.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.3.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.3.2

Riordina $- u^{2}$ e $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.4

L'integrale di $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ rispetto a $u$ è $\arcsin (u)$ .

$\arcsin (u) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $V + 0$ .

$\arcsin (V + 0) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.2.6

Somma $V$ e $0$ .

$\arcsin (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 6.2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\arcsin (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 6.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\arcsin (V) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 6.3

Trova l'arcoseno inverso di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $V$ dall'interno dell'arcoseno.

$V = \sin (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $V$ .

$\frac{y}{x} = \sin (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 8

Risolvi $\frac{y}{x} = \sin (\ln (| x |) + C)$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = \sin (\ln (| x |) + C) x$

Passaggio 8.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = \sin (\ln (| x |) + C) x$

Passaggio 8.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \sin (\ln (| x |) + C) x$

Passaggio 8.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Riordina i fattori in $\sin (\ln (| x |) + C) x$ .

$y = x \sin (\ln (| x |) + C)$