Calcolo Esempi

$- (1 + y^{2}) d x + x (y d) y = 0$

Passaggio 1

Somma $(1 + y^{2}) d x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x y d y = (1 + y^{2}) d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x (1 + y^{2})}$ .

$\frac{1}{x (1 + y^{2})} (x y) d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Scomponi $x$ da $x y$ .

$\frac{1}{x (1 + y^{2})} (x (y)) d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Passaggio 3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{x (1 + y^{2})} (x y) d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Passaggio 3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{1 + y^{2}} y d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Passaggio 3.2

$\frac{1}{1 + y^{2}}$ e $y$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{x (1 + y^{2})} (1 + y^{2}) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $1 + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $1 + y^{2}$ da $x (1 + y^{2})$ .

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + y^{2}) x} (1 + y^{2}) d x$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{(1 + y^{2}) x} (1 + y^{2}) d x$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{y}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sia $u = 1 + y^{2}$ . Allora $d u = 2 y d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Sia $u = 1 + y^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1.1

Differenzia $1 + y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [1 + y^{2}]$

Passaggio 4.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 4.2.1.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 4.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 + 2 y$

Passaggio 4.2.1.1.5

Somma $0$ e $2 y$ .

$2 y$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.5

Semplifica.

$\frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |)) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 5.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + y^{2} |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $\ln (| 1 + y^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{\ln (| 1 + y^{2} |)}{2} = 2 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 5.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 1 + y^{2} |) = 2 \ln (| x |) + 2 C$

Passaggio 5.3

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| x |) = 2 C$

Passaggio 5.4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica $\ln (| 1 + y^{2} |) - 2 \ln (| x |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1.1

Semplifica $- 2 \ln (| x |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln ({| x |}^{2}) = 2 C$

Passaggio 5.4.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln (| 1 + y^{2} |) - \ln (x^{2}) = 2 C$

Passaggio 5.4.1.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$

Passaggio 5.5

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}})} = e^{2 C}$

Passaggio 5.6

Riscrivi $\ln (\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}}) = 2 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}}$

Passaggio 5.7

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} = e^{2 C}$

Passaggio 5.7.2

Moltiplica ogni lato per $x^{2}$ .

$\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Passaggio 5.7.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{| 1 + y^{2} |}{x^{2}} x^{2} = e^{2 C} x^{2}$

Passaggio 5.7.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$| 1 + y^{2} | = e^{2 C} x^{2}$

Passaggio 5.7.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.3.2.1

Riordina i fattori in $e^{2 C} x^{2}$ .

$| 1 + y^{2} | = x^{2} e^{2 C}$

Passaggio 5.7.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.4.1

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$1 + y^{2} = \pm x^{2} e^{2 C}$

Passaggio 5.7.4.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} = \pm x^{2} e^{2 C} - 1$

Passaggio 5.7.4.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{2 C} - 1}$

Passaggio 6

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} C - 1}$

Passaggio 6.2

Combina costanti con il più o il meno.

$y = \pm \sqrt{C x^{2} - 1}$