Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2} y}{e^{2 - x^{3}}}$ , $y (0) = 1$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y$

Passaggio 1.2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y)$

Passaggio 1.3

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Scomponi $y$ da $\frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}})$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}})$

Passaggio 1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}}$

Passaggio 1.4

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y} d y = \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{6 x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $6$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{x^{2}}{e^{2 - x^{3}}} d x$

Passaggio 2.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Nega l'esponente di $e^{2 - x^{3}}$ e rimuovilo dal denominatore.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} {(e^{2 - x^{3}})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{2 - x^{3}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{(2 - x^{3}) \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{2 \cdot - 1 - x^{3} \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 - x^{3} \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.2.2.4

Moltiplica $- x^{3} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 + 1 x^{3}} d x$

Passaggio 2.3.2.2.4.2

Moltiplica $x^{3}$ per $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int x^{2} e^{- 2 + x^{3}} d x$

Passaggio 2.3.3

Sia $u = - 2 + x^{3}$ . Allora $d u = 3 x^{2} d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Sia $u = - 2 + x^{3}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Differenzia $- 2 + x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 + x^{3}]$

Passaggio 2.3.3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 + x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3.3.1.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3.3.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$0 + 3 x^{2}$

Passaggio 2.3.3.1.5

Somma $0$ e $3 x^{2}$ .

$3 x^{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Passaggio 2.3.4

$e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Passaggio 2.3.5

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 6 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

$\frac{1}{3}$ e $6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{6}{3} \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.6.2

Elimina il fattore comune di $6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3} \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.6.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.2.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.6.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.6.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{1} \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.6.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int e^{u} d u$

Passaggio 2.3.7

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (e^{u} + C_{2})$

Passaggio 2.3.8

Semplifica.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{u} + C_{2}$

Passaggio 2.3.9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 + x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\ln (| y |) = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\ln (| y |) = 2 e^{- 2 + x^{3}} + C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C} = | y |$

Passaggio 3.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $| y | = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$ .

$| y | = e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

Passaggio 3.3.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$

Passaggio 4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi $e^{2 e^{- 2 + x^{3}} + C}$ come $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{2 e^{- 2 + x^{3}}} e^{C}$

Passaggio 4.2

Riordina $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ e $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

Passaggio 4.3

Combina costanti con il più o il meno.

$y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

Passaggio 5

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $1$ in $y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ .

$1 = C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}}$

Passaggio 6

Risolvi per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}} = 1$ .

$C e^{2 e^{- 2 + 0^{3}}} = 1$

Passaggio 6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$C e^{2 e^{- 2 + 0}} = 1$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 2$ e $0$ .

$C e^{2 e^{- 2}} = 1$

Passaggio 6.2.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$C e^{2 \frac{1}{e^{2}}} = 1$

Passaggio 6.2.4

$2$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$

Passaggio 6.3

Dividi per $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ ciascun termine in $C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ ciascun termine in $C e^{\frac{2}{e^{2}}} = 1$ .

$\frac{C e^{\frac{2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{C e^{\frac{2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Passaggio 6.3.2.2

Dividi $C$ per $1$ .

$C = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Passaggio 7

Sostituisci $\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ a $C$ in $y = C e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci $\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ a $C$ .

$y = \frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}} e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$

Passaggio 7.2

$\frac{1}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$ e $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ .

$y = \frac{e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Passaggio 7.3

Scomponi $e^{\frac{2}{e^{2}}}$ da $e^{2 e^{- 2 + x^{3}}}$ .

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}}}$

Passaggio 7.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}} \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{e^{\frac{2}{e^{2}}} e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{e^{\frac{2}{e^{2}}} \cdot 1}$

Passaggio 7.4.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}}{1}$

Passaggio 7.4.4

Dividi $e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}$ per $1$ .

$y = e^{\frac{2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2}{e^{2}}}$

Passaggio 7.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Scomponi $2$ da $2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1.1

Scomponi $2$ da $2 e^{- 2 + x^{3}} e^{2}$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) - 2}{e^{2}}}$

Passaggio 7.5.1.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) + 2 (- 1)}{e^{2}}}$

Passaggio 7.5.1.3

Scomponi $2$ da $2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2}) + 2 (- 1)$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3}} e^{2} - 1)}{e^{2}}}$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica $e^{- 2 + x^{3}}$ per $e^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = e^{\frac{2 (e^{- 2 + x^{3} + 2} - 1)}{e^{2}}}$

Passaggio 7.5.2.2

Combina i termini opposti in $- 2 + x^{3} + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.2.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{x^{3} + 0} - 1)}{e^{2}}}$

Passaggio 7.5.2.2.2

Somma $x^{3}$ e $0$ .

$y = e^{\frac{2 (e^{x^{3}} - 1)}{e^{2}}}$