Calcolo Esempi

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{d y}{d x}$

Passaggio 1

Sia $v = \frac{d y}{d x}$ . Allora $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Sostituisci $v$ a $\frac{d y}{d x}$ e $\frac{d v}{d x}$ a $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ per ottenere un'equazione differenziale con una variabile dipendente $v$ e una variabile indipendente $x$ .

$\frac{d v}{d x} = v$

Passaggio 2

Separa le variabili.

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} v$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $v$ .

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Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} v$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = 1$

Passaggio 2.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{v} d v = 1 d x$

Passaggio 3

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 3.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{v} d v = \int d x$

Passaggio 3.2

L'integrale di $\frac{1}{v}$ rispetto a $v$ è $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} = \int d x$

Passaggio 3.3

Applica la regola costante.

$\ln (| v |) + C_{1} = x + C_{2}$

Passaggio 3.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C_{3}$ .

$\ln (| v |) = x + C_{3}$

Passaggio 4

Risolvi per $v$ .

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Passaggio 4.1

Per risolvere per $v$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (| v |)} = e^{x + C_{3}}$

Passaggio 4.2

Riscrivi $\ln (| v |) = x + C_{3}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x + C_{3}} = | v |$

Passaggio 4.3

Risolvi per $v$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Riscrivi l'equazione come $| v | = e^{x + C_{3}}$ .

$| v | = e^{x + C_{3}}$

Passaggio 4.3.2

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{x + C_{3}}$

Passaggio 5

Raggruppa i termini costanti.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $e^{x + C_{3}}$ come $e^{x} e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{x} e^{C_{3}}$

Passaggio 5.2

Riordina $e^{x}$ e $e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{C_{3}} e^{x}$

Passaggio 5.3

Combina costanti con il più o il meno.

$v = C_{4} e^{x}$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $v$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = C_{4} e^{x}$

Passaggio 7

Riscrivi l'equazione.

$d y = C_{4} e^{x} d x$

Passaggio 8

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 8.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int C_{4} e^{x} d x$

Passaggio 8.2

Applica la regola costante.

$y + C_{5} = \int C_{4} e^{x} d x$

Passaggio 8.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 8.3.1

Poiché $C_{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $C_{4}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{5} = C_{4} \int e^{x} d x$

Passaggio 8.3.2

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$y + C_{5} = C_{4} (e^{x} + C_{6})$

Passaggio 8.3.3

Semplifica.

$y + C_{5} = C_{4} e^{x} + C_{7}$

Passaggio 8.3.4

Riordina i termini.

$y + C_{5} = e^{x} C_{4} + C_{7}$

Passaggio 8.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $D$ .

$y = e^{x} C + D$