Calcolo Esempi

\frac{d s}{d t} = 8 {sin}^{2} (t - \frac{π}{12})

$\frac{d s}{d t} = 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12})$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

d s = 8 {sin}^{2} (t - \frac{π}{12}) d t

$d s = 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

\int d s = \int 8 {sin}^{2} (t - \frac{π}{12}) d t

$\int d s = \int 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

s + C_{1} = \int 8 {sin}^{2} (t - \frac{π}{12}) d t

$s + C_{1} = \int 8 \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché

8

$8$ è costante rispetto a

t

$t$ , sposta

8

$8$ fuori dall'integrale.

s + C_{1} = 8 \int {sin}^{2} (t - \frac{π}{12}) d t

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (t - \frac{π}{12}) d t$

Passaggio 2.3.2

Sia

u_{1} = t - \frac{π}{12}

$u_{1} = t - \frac{π}{12}$ . Allora

d u_{1} = d t

$d u_{1} = d t$ . Riscrivi usando

u_{1}

$u_{1}$ e

d

$d$

u_{1}

$u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia

u_{1} = t - \frac{π}{12}

$u_{1} = t - \frac{π}{12}$ . Trova

\frac{d u_{1}}{d t}

$\frac{d u_{1}}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia

t - \frac{π}{12}

$t - \frac{π}{12}$ .

\frac{d}{d t} [t - \frac{π}{12}]

$\frac{d}{d t} [t - \frac{π}{12}]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di

t - \frac{π}{12}

$t - \frac{π}{12}$ rispetto a

t

$t$ è

\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{12}]

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{12}]$ .

\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{12}]

$\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{12}]$

Passaggio 2.3.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

\frac{d}{d t} [t^{n}]

$\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è

n t^{n - 1}

$n t^{n - 1}$ dove

n = 1

$n = 1$ .

1 + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{12}]

$1 + \frac{d}{d t} [- \frac{π}{12}]$

Passaggio 2.3.2.1.4

Poiché

$- \frac{π}{12}$ è costante rispetto a

$t$ , la derivata di

$- \frac{π}{12}$ rispetto a

$t$ è

$0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.2.1.5

Somma

$1$ e

$0$ .

$1$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando

$u_{1}$ e

$d u_{1}$ .

$s + C_{1} = 8 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 2.3.3

Usa la formula di bisezione per riscrivere

$\sin^{2} (u_{1})$ come

$\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$s + C_{1} = 8 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Passaggio 2.3.4

Poiché

$\frac{1}{2}$ è costante rispetto a

$u_{1}$ , sposta

$\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$s + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ e

$8$ .

$s + C_{1} = \frac{8}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 2.3.5.2

Elimina il fattore comune di

$8$ e

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.1

Scomponi

$2$ da

$8$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 2.3.5.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.2.2.1

Scomponi

$2$ da

$2$ .

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 2.3.5.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$s + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 2.3.5.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$s + C_{1} = \frac{4}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 2.3.5.2.2.4

Dividi

$4$ per

$1$ .

$s + C_{1} = 4 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 2.3.6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$s + C_{1} = 4 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 2.3.7

Applica la regola costante.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 2.3.8

Poiché

$- 1$ è costante rispetto a

$u_{1}$ , sposta

$- 1$ fuori dall'integrale.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 2.3.9

Sia

$u_{2} = 2 u_{1}$ . Allora

$d u_{2} = 2 d u_{1}$ , quindi

$\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando

$u_{2}$ e

$d$

$u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.1

Sia

$u_{2} = 2 u_{1}$ . Trova

$\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.1.1

Differenzia

$2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Passaggio 2.3.9.1.2

Poiché

$2$ è costante rispetto a

$u_{1}$ , la derivata di

$2 u_{1}$ rispetto a

$u_{1}$ è

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 2.3.9.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è

$n {u_{1}}^{n - 1}$ dove

$n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 2.3.9.1.4

Moltiplica

$2$ per

$1$ .

$2$

Passaggio 2.3.9.2

Riscrivi il problema usando

$u_{2}$ e

$d u_{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Passaggio 2.3.10

$\cos (u_{2})$ e

$\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Passaggio 2.3.11

Poiché

$\frac{1}{2}$ è costante rispetto a

$u_{2}$ , sposta

$\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Passaggio 2.3.12

L'integrale di

$\cos (u_{2})$ rispetto a

$u_{2}$ è

$\sin (u_{2})$ .

$s + C_{1} = 4 (u_{1} + C_{2} - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C_{3}))$

Passaggio 2.3.13

Semplifica.

$s + C_{1} = 4 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

Passaggio 2.3.14

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.14.1

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u_{1}$ con

$t - \frac{π}{12}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C_{4}$

Passaggio 2.3.14.2

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u_{2}$ con

$2 u_{1}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C_{4}$

Passaggio 2.3.14.3

Sostituisci tutte le occorrenze di

$u_{1}$ con

$t - \frac{π}{12}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 (t - \frac{π}{12}))) + C_{4}$

Passaggio 2.3.15

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.15.1

Applica la proprietà distributiva.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 (- \frac{π}{12}))) + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.2

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.15.2.1

Sposta il negativo all'inizio di

$- \frac{π}{12}$ nel numeratore.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{- π}{12})) + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.2.2

Scomponi

$2$ da

$12$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{- π}{2 (6)})) + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.2.3

Elimina il fattore comune.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + 2 \frac{- π}{2 \cdot 6})) + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.2.4

Riscrivi l'espressione.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t + \frac{- π}{6})) + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{1}{2} \sin (2 t - \frac{π}{6})) + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.4

$\sin (2 t - \frac{π}{6})$ e

$\frac{1}{2}$ .

$s + C_{1} = 4 (t - \frac{π}{12} - \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.5

Applica la proprietà distributiva.

$s + C_{1} = 4 t + 4 (- \frac{π}{12}) + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.15.6.1

Elimina il fattore comune di

$4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.15.6.1.1

Sposta il negativo all'inizio di

$- \frac{π}{12}$ nel numeratore.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{- π}{12} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.6.1.2

Scomponi

$4$ da

$12$ .

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{- π}{4 (3)} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.6.1.3

Elimina il fattore comune.

$s + C_{1} = 4 t + 4 \frac{- π}{4 \cdot 3} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.6.1.4

Riscrivi l'espressione.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 4 (- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.6.2

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.15.6.2.1

Sposta il negativo all'inizio di

$- \frac{\sin (2 t - \frac{π}{6})}{2}$ nel numeratore.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 4 \frac{- \sin (2 t - \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.6.2.2

Scomponi

$2$ da

$4$ .

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 2 (2) \frac{- \sin (2 t - \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.6.2.3

Elimina il fattore comune.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 2 \cdot 2 \frac{- \sin (2 t - \frac{π}{6})}{2} + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.6.2.4

Riscrivi l'espressione.

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} + 2 (- \sin (2 t - \frac{π}{6})) + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.6.3

Moltiplica

$- 1$ per

$2$ .

$s + C_{1} = 4 t + \frac{- π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + C_{4}$

Passaggio 2.3.15.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$s + C_{1} = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come

$K$ .

$s = 4 t - \frac{π}{3} - 2 \sin (2 t - \frac{π}{6}) + K$