Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 3 - \frac{y}{x}$

Passaggio 1

Sia $V = \frac{y}{x}$ . Sostituisci $V$ a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 - V$

Passaggio 2

Risolvi $V = \frac{y}{x}$ per $y$ .

$y = V x$

Passaggio 3

Usa la regola del prodotto per trovare la derivata di $y = V x$ rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Passaggio 4

Sostituisci $x \frac{d V}{d x} + V$ a $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = 3 - V$

Passaggio 5

Risolvi l'equazione differenziale sostituita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Risolvi per $\frac{d V}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $\frac{d V}{d x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1.1

Sottrai $V$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x \frac{d V}{d x} = 3 - V - V$

Passaggio 5.1.1.1.2

Sottrai $V$ da $- V$ .

$x \frac{d V}{d x} = 3 - 2 V$

Passaggio 5.1.1.2

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = 3 - 2 V$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d V}{d x} = 3 - 2 V$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{3}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Passaggio 5.1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{3}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Passaggio 5.1.1.2.2.1.2

Dividi $\frac{d V}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{3}{x} + \frac{- 2 V}{x}$

Passaggio 5.1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3}{x} - \frac{2 V}{x}$

Passaggio 5.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d V}{d x} = \frac{3 - 2 V}{x}$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{3 - 2 V}$ .

$\frac{1}{3 - 2 V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{3 - 2 V} \cdot \frac{3 - 2 V}{x}$

Passaggio 5.1.4

Elimina il fattore comune di $3 - 2 V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3 - 2 V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{3 - 2 V} \cdot \frac{3 - 2 V}{x}$

Passaggio 5.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3 - 2 V} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 5.1.5

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{3 - 2 V} d V = \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{3 - 2 V} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Sia $u = 3 - 2 V$ . Allora $d u = - 2 d V$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = d V$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Sia $u = 3 - 2 V$ . Trova $\frac{d u}{d V}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1

Differenzia $3 - 2 V$ .

$\frac{d}{d V} [3 - 2 V]$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - 2 V$ rispetto a $V$ è $\frac{d}{d V} [3] + \frac{d}{d V} [- 2 V]$ .

$\frac{d}{d V} [3] + \frac{d}{d V} [- 2 V]$

Passaggio 5.2.2.1.1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $V$ , la derivata di $3$ rispetto a $V$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d V} [- 2 V]$

Passaggio 5.2.2.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d V} [- 2 V]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $V$ , la derivata di $- 2 V$ rispetto a $V$ è $- 2 \frac{d}{d V} [V]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d V} [V]$

Passaggio 5.2.2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ è $n V^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Passaggio 5.2.2.1.1.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$0 - 2$

Passaggio 5.2.2.1.1.4

Sottrai $2$ da $0$ .

$- 2$

Passaggio 5.2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2.2.2.2

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2.2.2.3

Sposta $2$ alla sinistra di $u$ .

$\int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2.2.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2.2.5

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2.2.6

Semplifica.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2.2.7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 - 2 V$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 5.2.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 5.2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |) = \ln (| x |) + C$

Passaggio 5.3

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |)) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 5.3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Semplifica $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| 3 - 2 V |))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1.1

$\ln (| 3 - 2 V |)$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| 3 - 2 V |)}{2}) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 5.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\ln (| 3 - 2 V |)}{2}$ nel numeratore.

$- 2 \frac{- \ln (| 3 - 2 V |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 5.3.2.1.1.2.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \ln (| 3 - 2 V |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 5.3.2.1.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| 3 - 2 V |)}{2} = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 5.3.2.1.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- - \ln (| 3 - 2 V |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 5.3.2.1.1.3

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \ln (| 3 - 2 V |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 5.3.2.1.1.3.2

Moltiplica $\ln (| 3 - 2 V |)$ per $1$ .

$\ln (| 3 - 2 V |) = - 2 (\ln (| x |) + C)$

Passaggio 5.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\ln (| 3 - 2 V |) = - 2 \ln (| x |) - 2 C$

Passaggio 5.3.3

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\ln (| 3 - 2 V |) + 2 \ln (| x |) = - 2 C$

Passaggio 5.3.4

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Semplifica $\ln (| 3 - 2 V |) + 2 \ln (| x |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1.1.1

Semplifica $2 \ln (| x |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln (| 3 - 2 V |) + \ln ({| x |}^{2}) = - 2 C$

Passaggio 5.3.4.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln (| 3 - 2 V |) + \ln (x^{2}) = - 2 C$

Passaggio 5.3.4.1.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| 3 - 2 V | x^{2}) = - 2 C$

Passaggio 5.3.4.1.3

Riordina i fattori in $\ln (| 3 - 2 V | x^{2})$ .

$\ln (x^{2} | 3 - 2 V |) = - 2 C$

Passaggio 5.3.5

Per risolvere per $V$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x^{2} | 3 - 2 V |)} = e^{- 2 C}$

Passaggio 5.3.6

Riscrivi $\ln (x^{2} | 3 - 2 V |) = - 2 C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = x^{2} | 3 - 2 V |$

Passaggio 5.3.7

Risolvi per $V$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$ .

$x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$

Passaggio 5.3.7.2

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.2.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} | 3 - 2 V | = e^{- 2 C}$ .

$\frac{x^{2} | 3 - 2 V |}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Passaggio 5.3.7.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} | 3 - 2 V |}{x^{2}} = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Passaggio 5.3.7.2.2.1.2

Dividi $| 3 - 2 V |$ per $1$ .

$| 3 - 2 V | = \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Passaggio 5.3.7.3

Rimuovi il valore assoluto. Ciò crea un $\pm$ sul lato destro dell'equazione perché $| x | = \pm x$ .

$3 - 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}$

Passaggio 5.3.7.4

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$

Passaggio 5.3.7.5

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.5.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 V = \pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}} - 3$ .

$\frac{- 2 V}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Passaggio 5.3.7.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.5.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 V}{- 2} = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Passaggio 5.3.7.5.2.1.2

Dividi $V$ per $1$ .

$V = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Passaggio 5.3.7.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.5.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.5.3.1.1

Semplifica $\frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{- 2}$ .

$V = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{2} + \frac{- 3}{- 2}$

Passaggio 5.3.7.5.3.1.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$V = \frac{\pm \frac{e^{- 2 C}}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Passaggio 5.4

Raggruppa i termini costanti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica la costante dell'integrazione.

$V = \frac{\pm \frac{C}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Passaggio 5.4.2

Combina costanti con il più o il meno.

$V = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Passaggio 6

Sostituisci $\frac{y}{x}$ a $V$ .

$\frac{y}{x} = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$

Passaggio 7

Risolvi $\frac{y}{x} = \frac{C \frac{1}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$

Passaggio 7.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = (\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$

Passaggio 7.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Semplifica $(\frac{C (\frac{1}{x^{2}})}{2} + \frac{3}{2}) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.1.1

$C$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$y = (\frac{\frac{C}{x^{2}}}{2} + \frac{3}{2}) x$

Passaggio 7.2.2.1.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = (\frac{C}{x^{2}} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{2}) x$

Passaggio 7.2.2.1.1.3

Combina.

$y = (\frac{C \cdot 1}{x^{2} \cdot 2} + \frac{3}{2}) x$

Passaggio 7.2.2.1.1.4

Moltiplica $C$ per $1$ .

$y = (\frac{C}{x^{2} \cdot 2} + \frac{3}{2}) x$

Passaggio 7.2.2.1.1.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$y = (\frac{C}{2 x^{2}} + \frac{3}{2}) x$

Passaggio 7.2.2.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{C}{2 x^{2}} x + \frac{3}{2} x$

Passaggio 7.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.2.2.1

Scomponi $x$ da $2 x^{2}$ .

$y = \frac{C}{x (2 x)} x + \frac{3}{2} x$

Passaggio 7.2.2.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{C}{x (2 x)} x + \frac{3}{2} x$

Passaggio 7.2.2.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{C}{2 x} + \frac{3}{2} x$

Passaggio 7.2.2.1.2.3

$\frac{3}{2}$ e $x$ .

$y = \frac{C}{2 x} + \frac{3 x}{2}$

Passaggio 7.2.2.1.2.4

Riordina $\frac{C}{2 x}$ e $\frac{3 x}{2}$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{C}{2 x}$