Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{x + 1}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = \frac{1}{\sqrt{x + 1}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{1}{\sqrt{x + 1}} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{x + 1}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.1.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.1.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 2.3.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.1.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.1.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 2.3.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 2.3.2.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$y + C_{1} = \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.3.2.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.3.2.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$y + C_{1} = \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 2.3.2.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

$y + C_{1} = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$