Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}}) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Passaggio 2.3.3

L'integrale di $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}$ rispetto a $x$ è $\arcsin (x)$ .

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} + \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Passaggio 2.3.5

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2.3.5.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} + \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.5.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.5.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} + \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.5.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} + \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 2.3.5.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} + \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.3.6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \arcsin (x) + C_{2} + \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{3})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

$y + C_{1} = \arcsin (x) + x^{\frac{1}{2}} + C_{4}$

Passaggio 2.3.8

Riordina i termini.

$y + C_{1} = x^{\frac{1}{2}} + \arcsin (x) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = x^{\frac{1}{2}} + \arcsin (x) + K$