Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} - 3 y = \frac{1}{2} e^{x}$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - 3$ .

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Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - 3 d x}$

Passaggio 1.2

Applica la regola costante.

$e^{- 3 x + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- 3 x}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{- 3 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $e^{- 3 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} + e^{- 3 x} (- 3 y) = e^{- 3 x} (\frac{1}{2} e^{x})$

Passaggio 2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = e^{- 3 x} (\frac{1}{2} e^{x})$

Passaggio 2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} e^{- 3 x} e^{x}$

Passaggio 2.4

Moltiplica $e^{- 3 x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.4.1

Sposta $e^{x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} (e^{x} e^{- 3 x})$

Passaggio 2.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} e^{x - 3 x}$

Passaggio 2.4.3

Sottrai $3 x$ da $x$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} e^{- 2 x}$

Passaggio 2.5

$\frac{1}{2}$ e $e^{- 2 x}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{e^{- 2 x}}{2}$

Passaggio 2.6

Riordina i fattori in $e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 e^{- 3 x} y = \frac{e^{- 2 x}}{2}$ .

$e^{- 3 x} \frac{d y}{d x} - 3 y e^{- 3 x} = \frac{e^{- 2 x}}{2}$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] = \frac{e^{- 2 x}}{2}$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- 3 x} y] d x = \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{- 3 x} y = \int \frac{e^{- 2 x}}{2} d x$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

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Passaggio 6.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int e^{- 2 x} d x$

Passaggio 6.2

Sia $u = - 2 x$ . Allora $d u = - 2 d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.2.1

Sia $u = - 2 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 6.2.1.1

Differenzia $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 6.2.1.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 6.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 6.3

Semplifica.

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Passaggio 6.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 6.3.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u$

Passaggio 6.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u)$

Passaggio 6.5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$e^{- 3 x} y = \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Passaggio 6.6

Semplifica.

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Passaggio 6.6.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Passaggio 6.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Passaggio 6.7

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Passaggio 6.8

Semplifica.

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Passaggio 6.9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 2 x$ .

$e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$

Passaggio 7

Dividi per $e^{- 3 x}$ ciascun termine in $e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi per $e^{- 3 x}$ ciascun termine in $e^{- 3 x} y = - \frac{1}{4} e^{- 2 x} + C$ .

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- 3 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- 3 x} y}{e^{- 3 x}} = \frac{- \frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{4} e^{- 2 x}}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.3.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{- 2 x}$ e $e^{- 3 x}$ .

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Passaggio 7.3.1.1.1

Scomponi $e^{- 3 x}$ da $- \frac{1}{4} e^{- 2 x}$ .

$y = \frac{e^{- 3 x} (- \frac{1}{4} e^{x})}{e^{- 3 x}} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 7.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.3.1.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{e^{- 3 x} (- \frac{1}{4} e^{x})}{e^{- 3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 7.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{e^{- 3 x} (- \frac{1}{4} e^{x})}{e^{- 3 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 7.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{- \frac{1}{4} e^{x}}{1} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 7.3.1.1.2.4

Dividi $- \frac{1}{4} e^{x}$ per $1$ .

$y = - \frac{1}{4} e^{x} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$

Passaggio 7.3.1.2

$e^{x}$ e $\frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{e^{x}}{4} + \frac{C}{e^{- 3 x}}$