Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = 3 x - 5$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{2}{x}$ .

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Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 1.2

Integra $\frac{2}{x}$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 1.2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 1.2.3

Semplifica.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{2 \ln (x)}$

Passaggio 1.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{2})}$

Passaggio 1.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{2}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 5$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1

$\frac{2}{x}$ e $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 5$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 5$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 5$

Passaggio 2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 5$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 5$

Passaggio 2.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 3 x^{2} x + x^{2} \cdot - 5$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.3.2.1

Sposta $x$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 3 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 5$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 2.3.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 3 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 5$

Passaggio 2.3.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 3 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 5$

Passaggio 2.3.2.3

Somma $1$ e $2$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 3 x^{3} + x^{2} \cdot - 5$

Passaggio 2.3.3

Sposta $- 5$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = 3 x^{3} - 5 x^{2}$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = 3 x^{3} - 5 x^{2}$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int 3 x^{3} - 5 x^{2} d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$x^{2} y = \int 3 x^{3} - 5 x^{2} d x$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

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Passaggio 6.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$x^{2} y = \int 3 x^{3} d x + \int - 5 x^{2} d x$

Passaggio 6.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$x^{2} y = 3 \int x^{3} d x + \int - 5 x^{2} d x$

Passaggio 6.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$x^{2} y = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - 5 x^{2} d x$

Passaggio 6.4

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 5$ fuori dall'integrale.

$x^{2} y = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 5 \int x^{2} d x$

Passaggio 6.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x^{2} y = 3 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Passaggio 6.6

Semplifica.

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Passaggio 6.6.1

Semplifica.

$x^{2} y = 3 (\frac{1}{4}) x^{4} - 5 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Passaggio 6.6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.6.2.1

$3$ e $\frac{1}{4}$ .

$x^{2} y = \frac{3}{4} x^{4} - 5 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Passaggio 6.6.2.2

$- 5$ e $\frac{1}{3}$ .

$x^{2} y = \frac{3}{4} x^{4} + \frac{- 5}{3} x^{3} + C$

Passaggio 6.6.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{2} y = \frac{3}{4} x^{4} - \frac{5}{3} x^{3} + C$

Passaggio 7

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} y = \frac{3}{4} x^{4} - \frac{5}{3} x^{3} + C$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} y = \frac{3}{4} x^{4} - \frac{5}{3} x^{3} + C$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{3}{4} x^{4}}{x^{2}} + \frac{- \frac{5}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{\frac{3}{4} x^{4}}{x^{2}} + \frac{- \frac{5}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{3}{4} x^{4}}{x^{2}} + \frac{- \frac{5}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 7.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ e $x^{2}$ .

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Passaggio 7.3.1.1.1

Scomponi $x^{2}$ da $\frac{3}{4} x^{4}$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{3}{4} x^{2})}{x^{2}} + \frac{- \frac{5}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 7.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.3.1.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{x^{2} (\frac{3}{4} x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{- \frac{5}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 7.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x^{2} (\frac{3}{4} x^{2})}{x^{2} \cdot 1} + \frac{- \frac{5}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 7.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\frac{3}{4} x^{2}}{1} + \frac{- \frac{5}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 7.3.1.1.2.4

Dividi $\frac{3}{4} x^{2}$ per $1$ .

$y = \frac{3}{4} x^{2} + \frac{- \frac{5}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 7.3.1.2

$\frac{3}{4}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{- \frac{5}{3} x^{3}}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 7.3.1.3

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.3.1

Scomponi $x^{2}$ da $- \frac{5}{3} x^{3}$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{x^{2} (- \frac{5}{3} x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 7.3.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 7.3.1.3.2.1

Moltiplica per $1$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{x^{2} (- \frac{5}{3} x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 7.3.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{x^{2} (- \frac{5}{3} x)}{x^{2} \cdot 1} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 7.3.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{3 x^{2}}{4} + \frac{- \frac{5}{3} x}{1} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 7.3.1.3.2.4

Dividi $- \frac{5}{3} x$ per $1$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{4} - \frac{5}{3} x + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 7.3.1.4

$x$ e $\frac{5}{3}$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{4} - \frac{x \cdot 5}{3} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 7.3.1.5

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$y = \frac{3 x^{2}}{4} - \frac{5 x}{3} + \frac{C}{x^{2}}$