Calcolo Esempi

$(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x} = x + 5$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x^{2} + 2 x - 3$ ciascun termine in $(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x} = x + 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi per $x^{2} + 2 x - 3$ ciascun termine in $(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x} = x + 5$ .

$\frac{(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 2 x - 3} = \frac{x}{x^{2} + 2 x - 3} + \frac{5}{x^{2} + 2 x - 3}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2} + 2 x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x^{2} + 2 x - 3) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 2 x - 3} = \frac{x}{x^{2} + 2 x - 3} + \frac{5}{x^{2} + 2 x - 3}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 2 x - 3} + \frac{5}{x^{2} + 2 x - 3}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 5}{x^{2} + 2 x - 3}$

Passaggio 1.1.3.2

Scomponi $x^{2} + 2 x - 3$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 3$ e la cui somma è $2$ .

$- 1, 3$

Passaggio 1.1.3.2.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)}$

Passaggio 1.2

Riscrivi l'equazione.

$d y = \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \frac{x + 5}{(x - 1) (x + 3)} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x - 1}$

Passaggio 2.3.1.1.2

$\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$

Passaggio 2.3.1.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x - 1) (x + 3)$ .

$\frac{(x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 2.3.1.1.4

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 5) (x - 1) (x + 3)}{(x - 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 2.3.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 2.3.1.1.5

Elimina il fattore comune di $x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 5) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 2.3.1.1.5.2

Dividi $x + 5$ per $1$ .

$x + 5 = \frac{(A) (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 2.3.1.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.6.1

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$x + 5 = \frac{A (x - 1) (x + 3)}{x - 1} + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 2.3.1.1.6.1.2

Dividi $(A) (x + 3)$ per $1$ .

$x + 5 = (A) (x + 3) + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 2.3.1.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$x + 5 = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 2.3.1.1.6.3

Sposta $3$ alla sinistra di $A$ .

$x + 5 = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 2.3.1.1.6.4

Elimina il fattore comune di $x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x + 5 = A x + 3 A + \frac{(B) (x - 1) (x + 3)}{x + 3}$

Passaggio 2.3.1.1.6.4.2

Dividi $(B) (x - 1)$ per $1$ .

$x + 5 = A x + 3 A + (B) (x - 1)$

Passaggio 2.3.1.1.6.5

Applica la proprietà distributiva.

$x + 5 = A x + 3 A + B x + B \cdot - 1$

Passaggio 2.3.1.1.6.6

Sposta $- 1$ alla sinistra di $B$ .

$x + 5 = A x + 3 A + B x - 1 \cdot B$

Passaggio 2.3.1.1.6.7

Riscrivi $- 1 B$ come $- B$ .

$x + 5 = A x + 3 A + B x - B$

Passaggio 2.3.1.1.7

Sposta $3 A$ .

$x + 5 = A x + B x + 3 A - B$

Passaggio 2.3.1.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + B$

Passaggio 2.3.1.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$5 = 3 A - 1 B$

Passaggio 2.3.1.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$1 = A + B$

$5 = 3 A - 1 B$

$1 = A + B$

$5 = 3 A - 1 B$

Passaggio 2.3.1.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Risolvi per $A$ in $1 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$5 = 3 A - 1 B$

Passaggio 2.3.1.3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 1 - B$

$5 = 3 A - 1 B$

$A = 1 - B$

$5 = 3 A - 1 B$

Passaggio 2.3.1.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1 - B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $5 = 3 A - 1 B$ con $1 - B$ .

$5 = 3 (1 - B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 2.3.1.3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.2.2.1

Semplifica $3 (1 - B) - 1 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$5 = 3 \cdot 1 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 2.3.1.3.2.2.1.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$5 = 3 + 3 (- B) - 1 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 2.3.1.3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$5 = 3 - 3 B - 1 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 2.3.1.3.2.2.1.1.4

Riscrivi $- 1 B$ come $- B$ .

$5 = 3 - 3 B - B$

$A = 1 - B$

$5 = 3 - 3 B - B$

$A = 1 - B$

Passaggio 2.3.1.3.2.2.1.2

Sottrai $B$ da $- 3 B$ .

$5 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$5 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$5 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

$5 = 3 - 4 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 2.3.1.3.3

Risolvi per $B$ in $5 = 3 - 4 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $3 - 4 B = 5$ .

$3 - 4 B = 5$

$A = 1 - B$

Passaggio 2.3.1.3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.3.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 B = 5 - 3$

$A = 1 - B$

Passaggio 2.3.1.3.3.2.2

Sottrai $3$ da $5$ .

$- 4 B = 2$

$A = 1 - B$

$- 4 B = 2$

$A = 1 - B$

Passaggio 2.3.1.3.3.3

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 B = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.3.3.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 B = 2$ .

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{2}{- 4}$

$A = 1 - B$

Passaggio 2.3.1.3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 B}{- 4} = \frac{2}{- 4}$

$A = 1 - B$

Passaggio 2.3.1.3.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{2}{- 4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{- 4}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{2}{- 4}$

$A = 1 - B$

Passaggio 2.3.1.3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.3.3.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ e $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.3.3.3.1.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$B = \frac{2 (1)}{- 4}$

$A = 1 - B$

Passaggio 2.3.1.3.3.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.3.3.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$B = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2}$

$A = 1 - B$

Passaggio 2.3.1.3.3.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$B = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2}$

$A = 1 - B$

Passaggio 2.3.1.3.3.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

Passaggio 2.3.1.3.3.3.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Passaggio 2.3.1.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $- \frac{1}{2}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = 1 - B$ con $- \frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (- \frac{1}{2})$

$B = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.1.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.4.2.1

Semplifica $1 - (- \frac{1}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.4.2.1.1

Moltiplica $- (- \frac{1}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.4.2.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$A = 1 + 1 (\frac{1}{2})$

$B = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.1.3.4.2.1.1.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$A = 1 + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.1.3.4.2.1.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$A = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.1.3.4.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A = \frac{2 + 1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.1.3.4.2.1.4

Somma $2$ e $1$ .

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.1.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = \frac{3}{2}, B = - \frac{1}{2}$

Passaggio 2.3.1.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 3}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{3}{2}}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 3}$

Passaggio 2.3.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x - 1} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 3}$

Passaggio 2.3.1.5.2

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{1}{x - 1}$ .

$\frac{3}{2 (x - 1)} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 3}$

Passaggio 2.3.1.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{3}{2 (x - 1)} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + 3}$

Passaggio 2.3.1.5.4

Moltiplica $\frac{1}{x + 3}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2 (x - 1)} - \frac{1}{(x + 3) \cdot 2}$

Passaggio 2.3.1.5.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x + 3$ .

$y + C_{1} = \int \frac{3}{2 (x - 1)} - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

Passaggio 2.3.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int \frac{3}{2 (x - 1)} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{3}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \int \frac{1}{x - 1} d x + \int - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

Passaggio 2.3.4

Sia $u_{1} = x - 1$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Sia $u_{1} = x - 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 2.3.4.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 2.3.4.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.4.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.4.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

Passaggio 2.3.5

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \int - \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

Passaggio 2.3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - \int \frac{1}{2 (x + 3)} d x$

Passaggio 2.3.7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x + 3} d x)$

Passaggio 2.3.8

Sia $u_{2} = x + 3$ . Allora $d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1

Sia $u_{2} = x + 3$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1.1

Differenzia $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 2.3.8.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.3.8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 2.3.8.1.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 2.3.8.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 2.3.8.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.9

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) - \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3})$

Passaggio 2.3.10

Semplifica.

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Passaggio 2.3.11

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - 1$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{4}$

Passaggio 2.3.11.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 3$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{2} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 3 |) + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$y = \frac{3}{2} \ln (| x - 1 |) - \frac{1}{2} \ln (| x + 3 |) + C$