Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 1}{y^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x - 1}{y^{2}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x - 1}{y^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x - 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$y^{2} d y = (x - 1) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y^{2} d y = \int x - 1 d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x - 1 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x d x + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int - 1 d x$

Passaggio 2.3.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} - x + C_{3}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} - x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{2} x^{2} - x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{2} x^{2} - x + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} - x + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} - x + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} - x + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $3 (\frac{1}{2} x^{2} - x + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{2}}{2} - x + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y^{3} = 3 \frac{x^{2}}{2} + 3 (- x) + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

$3$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$y^{3} = \frac{3 x^{2}}{2} + 3 (- x) + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$y^{3} = \frac{3 x^{2}}{2} - 3 x + 3 K$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} - 3 x + 3 K}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\sqrt[3]{\frac{3 x^{2}}{2} - 3 x + 3 K}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Scomponi $3$ da $\frac{3 x^{2}}{2} - 3 x + 3 K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Scomponi $3$ da $\frac{3 x^{2}}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2}}{2} - 3 x + 3 K}$

Passaggio 3.4.1.2

Scomponi $3$ da $- 3 x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2}}{2} + 3 (- x) + 3 K}$

Passaggio 3.4.1.3

Scomponi $3$ da $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2}}{2} + 3 (- x) + 3 K}$

Passaggio 3.4.1.4

Scomponi $3$ da $3 \frac{x^{2}}{2} + 3 (- x)$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2}}{2} - x) + 3 K}$

Passaggio 3.4.1.5

Scomponi $3$ da $3 (\frac{x^{2}}{2} - x) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2}}{2} - x + K)}$

Passaggio 3.4.2

Per scrivere $- x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2}}{2} - x \cdot \frac{2}{2} + K)}$

Passaggio 3.4.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

$- x$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2}}{2} + \frac{- x \cdot 2}{2} + K)}$

Passaggio 3.4.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x^{2} - x \cdot 2}{2} + K)}$

Passaggio 3.4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Scomponi $x$ da $x^{2} - x \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x \cdot x - x \cdot 2}{2} + K)}$

Passaggio 3.4.4.1.2

Scomponi $x$ da $- x \cdot 2$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x \cdot x + x (- 1 \cdot 2)}{2} + K)}$

Passaggio 3.4.4.1.3

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x (- 1 \cdot 2)$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x (x - 1 \cdot 2)}{2} + K)}$

Passaggio 3.4.4.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x (x - 2)}{2} + K)}$

Passaggio 3.4.5

Per scrivere $K$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x (x - 2)}{2} + K \cdot \frac{2}{2})}$

Passaggio 3.4.6

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.6.1

$K$ e $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (\frac{x (x - 2)}{2} + \frac{K \cdot 2}{2})}$

Passaggio 3.4.6.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x (x - 2) + K \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.4.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + K \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.4.7.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2} + x \cdot - 2 + K \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.4.7.3

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2} - 2 \cdot x + K \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.4.7.4

Sposta $2$ alla sinistra di $K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{x^{2} - 2 x + 2 K}{2}}$

Passaggio 3.4.8

$3$ e $\frac{x^{2} - 2 x + 2 K}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)}{2}}$

Passaggio 3.4.9

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)}{2}}$ come $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$

Passaggio 3.4.10

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Passaggio 3.4.11

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.11.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)}}{\sqrt[3]{2}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Passaggio 3.4.11.2

Eleva $\sqrt[3]{2}$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Passaggio 3.4.11.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Passaggio 3.4.11.4

Somma $1$ e $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Passaggio 3.4.11.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.11.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{2}$ come $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 3.4.11.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 3.4.11.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.4.11.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.11.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 3.4.11.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Passaggio 3.4.11.5.5

Calcola l'esponente.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Passaggio 3.4.12

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.12.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ come $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Passaggio 3.4.12.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K)} \sqrt[3]{4}}{2}$

Passaggio 3.4.13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.13.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (x^{2} - 2 x + 2 K) \cdot 4}}{2}$

Passaggio 3.4.13.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (x^{2} - 2 x + 2 K)}}{2}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (x^{2} - 2 x + K)}}{2}$