Calcolo Esempi

$y d x + 2 x d y = 0$

Passaggio 1

Sottrai $y d x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x d y = - y d x$

Passaggio 2

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{1}{x y} (2 x) d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Passaggio 3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \frac{1}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Passaggio 3.2

$2$ e $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $x$ da $x y$ .

$\frac{2}{x (y)} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{x y} x d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{y} d y = \frac{1}{x y} (- y) d x$

Passaggio 3.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{2}{y} d y = - \frac{1}{x y} y d x$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{x y}$ nel numeratore.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 1}{x y} y d x$

Passaggio 3.5.2

Scomponi $y$ da $x y$ .

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 1}{y x} y d x$

Passaggio 3.5.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 1}{y x} y d x$

Passaggio 3.5.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{y} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Passaggio 3.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2}{y} d y = - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{2}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.2

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.2.3

Semplifica.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 4.3.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Passaggio 4.3.3

Semplifica.

$2 \ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Passaggio 4.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$2 \ln (| y |) = - \ln (| x |) + C$

Passaggio 5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$2 \ln (| y |) + \ln (| x |) = C$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica $2 \ln (| y |) + \ln (| x |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1.1

Semplifica $2 \ln (| y |)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\ln ({| y |}^{2}) + \ln (| x |) = C$

Passaggio 5.2.1.1.2

Rimuovi il valore assoluto in ${| y |}^{2}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$\ln (y^{2}) + \ln (| x |) = C$

Passaggio 5.2.1.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (y^{2} | x |) = C$

Passaggio 5.3

Per risolvere per $y$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (y^{2} | x |)} = e^{C}$

Passaggio 5.4

Riscrivi $\ln (y^{2} | x |) = C$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y^{2} | x |$

Passaggio 5.5

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi l'equazione come $y^{2} | x | = e^{C}$ .

$y^{2} | x | = e^{C}$

Passaggio 5.5.2

Dividi per $| x |$ ciascun termine in $y^{2} | x | = e^{C}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Dividi per $| x |$ ciascun termine in $y^{2} | x | = e^{C}$ .

$\frac{y^{2} | x |}{| x |} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Passaggio 5.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $| x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} | x |}{| x |} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Passaggio 5.5.2.2.1.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{e^{C}}{| x |}$

Passaggio 5.5.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$

Passaggio 5.5.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{e^{C}}{| x |}}$ come $\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$

Passaggio 5.5.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$ per $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}} \cdot \frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$

Passaggio 5.5.4.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{e^{C}}}{\sqrt{| x |}}$ per $\frac{\sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{\sqrt{| x |} \sqrt{| x |}}$

Passaggio 5.5.4.3.2

Eleva $\sqrt{| x |}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{\sqrt{| x |}}^{1} \sqrt{| x |}}$

Passaggio 5.5.4.3.3

Eleva $\sqrt{| x |}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{\sqrt{| x |}}^{1} {\sqrt{| x |}}^{1}}$

Passaggio 5.5.4.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{\sqrt{| x |}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.5.4.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{\sqrt{| x |}}^{2}}$

Passaggio 5.5.4.3.6

Riscrivi ${\sqrt{| x |}}^{2}$ come $| x |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{| x |}$ come ${| x |}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{({| x |}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.5.4.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{| x |}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.5.4.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{| x |}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.5.4.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{| x |}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.5.4.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{{| x |}^{1}}$

Passaggio 5.5.4.3.6.5

Semplifica.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C}} \sqrt{| x |}}{| x |}$

Passaggio 5.5.4.4

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{e^{C} | x |}}{| x |}$

Passaggio 5.5.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 5.5.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.