Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{x + 1}{e^{3 y + 9}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $e^{3 y + 9}$ .

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{x + 1}{e^{3 y + 9}}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $e^{3 y + 9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = e^{3 y + 9} \frac{x + 1}{e^{3 y + 9}}$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{3 y + 9} \frac{d y}{d x} = x + 1$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$e^{3 y + 9} d y = (x + 1) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int e^{3 y + 9} d y = \int x + 1 d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Sia $u = 3 y + 9$ . Allora $d u = 3 d y$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sia $u = 3 y + 9$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Differenzia $3 y + 9$ .

$\frac{d}{d y} [3 y + 9]$

Passaggio 2.2.1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 y + 9$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [9]$

Passaggio 2.2.1.1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $3 y$ rispetto a $y$ è $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

Passaggio 2.2.1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [9]$

Passaggio 2.2.1.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 + \frac{d}{d y} [9]$

Passaggio 2.2.1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.4.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $9$ rispetto a $y$ è $0$ .

$3 + 0$

Passaggio 2.2.1.1.4.2

Somma $3$ e $0$ .

$3$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{3} d u = \int x + 1 d x$

Passaggio 2.2.2

$e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{e^{u}}{3} d u = \int x + 1 d x$

Passaggio 2.2.3

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int e^{u} d u = \int x + 1 d x$

Passaggio 2.2.4

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u} + C_{1}) = \int x + 1 d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica.

$\frac{1}{3} e^{u} + C_{1} = \int x + 1 d x$

Passaggio 2.2.6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 y + 9$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \int x + 1 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \int x d x + \int d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int d x$

Passaggio 2.3.3

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + x + C_{3}$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{3} e^{3 y + 9} = \frac{1}{2} x^{2} + x + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $3$ .

$3 (\frac{1}{3} e^{3 y + 9}) = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $3 (\frac{1}{3} e^{3 y + 9})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{3}$ e $e^{3 y + 9}$ .

$3 \frac{e^{3 y + 9}}{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{e^{3 y + 9}}{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{3 y + 9} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $3 (\frac{1}{2} x^{2} + x + K)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$e^{3 y + 9} = 3 (\frac{x^{2}}{2} + x + K)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$e^{3 y + 9} = 3 \frac{x^{2}}{2} + 3 x + 3 K$

Passaggio 3.2.2.1.3

$3$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$e^{3 y + 9} = \frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K$

Passaggio 3.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{3 y + 9}) = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)$

Passaggio 3.4

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.4.1

Espandi $\ln (e^{3 y + 9})$ spostando $3 y + 9$ fuori dal logaritmo.

$(3 y + 9) \ln (e) = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)$

Passaggio 3.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$(3 y + 9) \cdot 1 = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $3 y + 9$ per $1$ .

$3 y + 9 = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)$

Passaggio 3.5

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 y = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K) - 9$

Passaggio 3.6

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K) - 9$ e semplifica.

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Passaggio 3.6.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 y = \ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K) - 9$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

Passaggio 3.6.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.6.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

Passaggio 3.6.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)}{3} + \frac{- 9}{3}$

Passaggio 3.6.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.6.3.1

Dividi $- 9$ per $3$ .

$y = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + 3 K)}{3} - 3$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\ln (\frac{3 x^{2}}{2} + 3 x + K)}{3} - 3$