Calcolo Esempi

$y (x^{4} - y^{2}) d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Passaggio 1

Scrivi il problema come espressione matematica.

$y (x^{4} - y^{2}) d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = y (x^{4} - y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y (x^{4} - y^{2})]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y$ e $g (y) = x^{4} - y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [x^{4} - y^{2}] + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} - y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (\frac{d}{d y} [x^{4}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.3.2

Poiché $x^{4}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x^{4}$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (0 + \frac{d}{d y} [- y^{2}]) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \frac{d}{d y} [- y^{2}] + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- \frac{d}{d y} [y^{2}]) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- (2 y)) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y (- 2 y) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.4

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 (y^{1} y) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.5

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 (y^{1} y^{1}) + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y^{1 + 1} + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.7

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y^{2} + (x^{4} - y^{2}) \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y^{2} + (x^{4} - y^{2}) \cdot 1$

Passaggio 2.9

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Moltiplica $x^{4} - y^{2}$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y^{2} + x^{4} - y^{2}$

Passaggio 2.9.2

Sottrai $y^{2}$ da $- 2 y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x^{4} - 3 y^{2}$

Passaggio 3

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = x (x^{4} + y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (x^{4} + y^{2})]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = x^{4} + y^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}] + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.3

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (4 x^{3} + 0) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.4

Somma $4 x^{3}$ e $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = x (4 x^{3}) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.4

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 (x^{1} x^{3}) + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{1 + 3} + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.6

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{4} + (x^{4} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{4} + (x^{4} + y^{2}) \cdot 1$

Passaggio 3.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.8.1

Moltiplica $x^{4} + y^{2}$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x^{4} + x^{4} + y^{2}$

Passaggio 3.8.2

Somma $4 x^{4}$ e $x^{4}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 x^{4} + y^{2}$

Passaggio 4

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $x^{4} - 3 y^{2}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $5 x^{4} + y^{2}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$x^{4} - 3 y^{2} = 5 x^{4} + y^{2}$

Passaggio 4.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$x^{4} - 3 y^{2} = 5 x^{4} + y^{2}$ non è un'identità.

Passaggio 5

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci $x^{4} - 3 y^{2}$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{x^{4} - 3 y^{2} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 5.2

Sostituisci $5 x^{4} + y^{2}$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{x^{4} - 3 y^{2} - (5 x^{4} + y^{2})}{N}$

Passaggio 5.3

Sostituisci $x (x^{4} + y^{2})$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci $x (x^{4} + y^{2})$ a $N$ .

$\frac{x^{4} - 3 y^{2} - (5 x^{4} + y^{2})}{x (x^{4} + y^{2})}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Sia $u = y^{2}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $y^{2}$ con $u$ .

$\frac{- 4 x^{4} - 4 u}{x (x^{4} + y^{2})}$

Passaggio 5.3.2.2

Scomponi $4$ da $- 4 x^{4} - 4 u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $- 4 x^{4}$ .

$\frac{4 (- x^{4}) - 4 u}{x (x^{4} + y^{2})}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Scomponi $4$ da $- 4 u$ .

$\frac{4 (- x^{4}) + 4 (- u)}{x (x^{4} + y^{2})}$

Passaggio 5.3.2.2.3

Scomponi $4$ da $4 (- x^{4}) + 4 (- u)$ .

$\frac{4 (- x^{4} - u)}{x (x^{4} + y^{2})}$

Passaggio 5.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y^{2}$ .

$\frac{4 (- x^{4} - y^{2})}{x (x^{4} + y^{2})}$

Passaggio 5.3.3

Elimina il fattore comune di $- x^{4} - y^{2}$ e $x^{4} + y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $- 1$ da $- x^{4}$ .

$\frac{4 (- (x^{4}) - y^{2})}{x (x^{4} + y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $- 1$ da $- y^{2}$ .

$\frac{4 (- (x^{4}) - (y^{2}))}{x (x^{4} + y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $- (x^{4}) - (y^{2})$ .

$\frac{4 (- (x^{4} + y^{2}))}{x (x^{4} + y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.4

Riscrivi $- (x^{4} + y^{2})$ come $- 1 (x^{4} + y^{2})$ .

$\frac{4 (- 1 (x^{4} + y^{2}))}{x (x^{4} + y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.5

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (- 1 (x^{4} + y^{2}))}{x (x^{4} + y^{2})}$

Passaggio 5.3.3.6

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 \cdot (- 1)}{x}$

Passaggio 5.3.4

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\frac{- 4}{x}$

Passaggio 5.3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{x}$

Passaggio 5.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{x} d x}$

Passaggio 6

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{4}{x} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{x} d x}$

Passaggio 6.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 6.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 6.4

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 6.5

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| x |)} + C$

Passaggio 6.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Semplifica $- 4 \ln (| x |)$ spostando $- 4$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 4})} + C$

Passaggio 6.6.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 4} + C$

Passaggio 6.6.3

Rimuovi il valore assoluto in ${| x |}^{- 4}$ perché gli elevamenti a potenza con potenze pari sono sempre positivi.

$μ (x, y) = x^{- 4} + C$

Passaggio 6.6.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{x^{4}} + C$

Passaggio 7

Moltiplica entrambi i lati di $y (x^{4} - y^{2}) d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{x^{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Moltiplica $y (x^{4} - y^{2})$ per $\frac{1}{x^{4}}$ .

$y (x^{4} - y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$(y x^{4} + y (- y^{2})) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$(y x^{4} - y \cdot y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.4

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Sposta $y^{2}$ .

$(y x^{4} - (y^{2} y)) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$(y x^{4} - (y^{2} y^{1})) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(y x^{4} - y^{2 + 1}) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.4.3

Somma $2$ e $1$ .

$(y x^{4} - y^{3}) \frac{1}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.5

Moltiplica $y x^{4} - y^{3}$ per $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{y x^{4} - y^{3}}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Scomponi $y$ da $y x^{4} - y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1.1

Scomponi $y$ da $y x^{4}$ .

$\frac{y (x^{4}) - y^{3}}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.6.1.2

Scomponi $y$ da $- y^{3}$ .

$\frac{y (x^{4}) + y (- y^{2})}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.6.1.3

Scomponi $y$ da $y (x^{4}) + y (- y^{2})$ .

$\frac{y (x^{4} - y^{2})}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.6.2

Riscrivi $x^{4}$ come ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{y ({(x^{2})}^{2} - y^{2})}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.6.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x^{2}$ e $b = y$ .

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) d y = 0$

Passaggio 7.7

Moltiplica $x (x^{4} + y^{2})$ per $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) \frac{1}{x^{4}} d y = 0$

Passaggio 7.8

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.8.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Passaggio 7.8.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + x (x^{4} + y^{2}) \frac{1}{x \cdot x^{3}} d y = 0$

Passaggio 7.8.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + (x^{4} + y^{2}) \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Passaggio 7.9

Moltiplica $x^{4} + y^{2}$ per $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} d x + \frac{x^{4} + y^{2}}{x^{3}} d y = 0$

Passaggio 8

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{x^{4} + y^{2}}{x^{3}} d y$

Passaggio 9

Integra $N (x, y) = \frac{x^{4} + y^{2}}{x^{3}}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Poiché $\frac{1}{x^{3}}$ è costante rispetto a $y$ , sposta $\frac{1}{x^{3}}$ fuori dall'integrale.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} \int x^{4} + y^{2} d y$

Passaggio 9.2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (\int x^{4} d y + \int y^{2} d y)$

Passaggio 9.3

Applica la regola costante.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + C + \int y^{2} d y)$

Passaggio 9.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{2}$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + C + \frac{1}{3} y^{3} + C)$

Passaggio 9.5

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + C + \frac{y^{3}}{3} + C)$

Passaggio 9.6

Semplifica.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + C$

Passaggio 10

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + g (x)$

Passaggio 11

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3})] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3})] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \frac{1}{x^{3}}$ e $g (x) = x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}$ .

$\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}] + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3}]$ .

$\frac{1}{x^{3}} (\frac{d}{d x} [x^{4} y] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3}]) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.4

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x^{4} y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3}]) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{y^{3}}{3}]) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.6

Poiché $\frac{y^{3}}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{y^{3}}{3}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.7

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.8

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.8.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.8.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.8.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3}$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$\frac{1}{x^{3}} (y (4 x^{3}) + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.10

Sposta $4$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{1}{x^{3}} (4 \cdot y x^{3} + 0) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.11

Somma $4 y x^{3}$ e $0$ .

$\frac{1}{x^{3}} (4 y x^{3}) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.12

$4$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{4}{x^{3}} (y x^{3}) + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.13

$y$ e $\frac{4}{x^{3}}$ .

$\frac{y \cdot 4}{x^{3}} x^{3} + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.14

$\frac{y \cdot 4}{x^{3}}$ e $x^{3}$ .

$\frac{y \cdot 4 x^{3}}{x^{3}} + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.15

Sposta $4$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{4 \cdot y x^{3}}{x^{3}} + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.16

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.16.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 y x^{3}}{x^{3}} + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.16.2

Dividi $4 y$ per $1$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.17

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.17.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.17.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.18

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.19

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.19.1

Sposta $x^{2}$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.19.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.3.19.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 x^{- 4}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 y + (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$4 y + x^{4} y (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.3.1

$- 3$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$4 y + x^{4} y \frac{- 3}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 y + x^{4} y (- \frac{3}{x^{4}}) + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.3.3

$x^{4}$ e $\frac{3}{x^{4}}$ .

$4 y + y (- \frac{x^{4} \cdot 3}{x^{4}}) + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.3.4

$y$ e $\frac{x^{4} \cdot 3}{x^{4}}$ .

$4 y - \frac{y (x^{4} \cdot 3)}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.3.5

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$4 y - \frac{y (3 \cdot x^{4})}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.3.6

Sposta $3$ alla sinistra di $y$ .

$4 y - \frac{3 \cdot y x^{4}}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.3.7

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$4 y - \frac{3 y x^{4}}{x^{4}} + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.3.7.2

Dividi $3 y$ per $1$ .

$4 y - (3 y) + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.3.8

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$4 y - 3 y + \frac{y^{3}}{3} (- 3 \frac{1}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.3.9

$- 3$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$4 y - 3 y + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{- 3}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 y - 3 y + \frac{y^{3}}{3} (- \frac{3}{x^{4}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.3.11

Moltiplica $\frac{y^{3}}{3}$ per $\frac{3}{x^{4}}$ .

$4 y - 3 y - \frac{y^{3} \cdot 3}{3 x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.3.12

Sposta $3$ alla sinistra di $y^{3}$ .

$4 y - 3 y - \frac{3 \cdot y^{3}}{3 x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.3.13

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.3.13.1

Elimina il fattore comune.

$4 y - 3 y - \frac{3 y^{3}}{3 x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.3.13.2

Riscrivi l'espressione.

$4 y - 3 y - \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.3.14

Sottrai $3 y$ da $4 y$ .

$y - \frac{y^{3}}{x^{4}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 12.5.4

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} + y - \frac{y^{3}}{x^{4}} = \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$

Passaggio 13

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Sottrai $\frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} + y - \frac{y^{3}}{x^{4}} - \frac{y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y (x^{2} + y) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} + (- y x^{2} - y \cdot y) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.3.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.2.1

Sposta $y$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} + (- y x^{2} - (y \cdot y)) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.3.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} + (- y x^{2} - y^{2}) (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.3.3

Espandi $(- y x^{2} - y^{2}) (x^{2} - y)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{2} (x^{2} - y) - y^{2} (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{2} x^{2} - y x^{2} (- y) - y^{2} (x^{2} - y)}{x^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{2} x^{2} - y x^{2} (- y) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.3.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.4.1.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.4.1.1.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y (x^{2} x^{2}) - y x^{2} (- y) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.3.4.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{2 + 2} - y x^{2} (- y) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.3.4.1.1.3

Somma $2$ e $2$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} - y x^{2} (- y) - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.3.4.1.2

Moltiplica $y$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.4.1.2.1

Sposta $y$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} - (y \cdot y) x^{2} \cdot - 1 - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.3.4.1.2.2

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} - y^{2} x^{2} \cdot - 1 - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.3.4.1.3

Moltiplica $- y^{2} x^{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.4.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + 1 y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.3.4.1.3.2

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - y^{2} (- y)}{x^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.3.4.1.4

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y}{x^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.3.4.1.5

Moltiplica $y^{2}$ per $y$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.4.1.5.1

Sposta $y$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 (y \cdot y^{2})}{x^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.3.4.1.5.2

Moltiplica $y$ per $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.4.1.5.2.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 (y^{1} y^{2})}{x^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.3.4.1.5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{1 + 2}}{x^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.3.4.1.5.3

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} - 1 \cdot - 1 y^{3}}{x^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.3.4.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} + 1 y^{3}}{x^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.3.4.1.7

Moltiplica $y^{3}$ per $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{2} x^{2} - y^{2} x^{2} + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.3.4.2

Sottrai $y^{2} x^{2}$ da $y^{2} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + 0 + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.3.4.3

Somma $- y x^{4}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y^{3} - y x^{4} + y^{3}}{x^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.4

Combina i termini opposti in $- y^{3} - y x^{4} + y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.4.1

Somma $- y^{3}$ e $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y x^{4} + 0}{x^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.4.2

Somma $- y x^{4}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y x^{4}}{x^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.5

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{d g}{d x} + y + \frac{- y x^{4}}{x^{4}} = 0$

Passaggio 13.1.5.2

Dividi $- y$ per $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y - y = 0$

Passaggio 13.1.6

Combina i termini opposti in $\frac{d g}{d x} + y - y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.6.1

Sottrai $y$ da $y$ .

$\frac{d g}{d x} + 0 = 0$

Passaggio 13.1.6.2

Somma $\frac{d g}{d x}$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Passaggio 14

Trova l'antiderivata di $0$ per trovare $g (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Passaggio 14.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Passaggio 14.3

L'integrale di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Passaggio 14.4

Somma $0$ e $C$ .

$g (x) = C$

Passaggio 15

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{1}{3} y^{3}) + C$

Passaggio 16

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

$\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{x^{3}} (x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}) + C$

Passaggio 16.2

Moltiplica $\frac{1}{x^{3}}$ per $x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}}{x^{3}} + C$

Passaggio 16.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.1

Scomponi $y$ da $x^{4} y + \frac{y^{3}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.1.1

Scomponi $y$ da $x^{4} y$ .

$f (x, y) = \frac{y x^{4} + \frac{y^{3}}{3}}{x^{3}} + C$

Passaggio 16.3.1.2

Scomponi $y$ da $\frac{y^{3}}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y x^{4} + y \frac{y^{2}}{3}}{x^{3}} + C$

Passaggio 16.3.1.3

Scomponi $y$ da $y x^{4} + y \frac{y^{2}}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y (x^{4} + \frac{y^{2}}{3})}{x^{3}} + C$

Passaggio 16.3.2

Per scrivere $x^{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y (x^{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{2}}{3})}{x^{3}} + C$

Passaggio 16.3.3

$x^{4}$ e $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y (\frac{x^{4} \cdot 3}{3} + \frac{y^{2}}{3})}{x^{3}} + C$

Passaggio 16.3.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (x, y) = \frac{y \frac{x^{4} \cdot 3 + y^{2}}{3}}{x^{3}} + C$

Passaggio 16.3.5

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y \frac{3 x^{4} + y^{2}}{3}}{x^{3}} + C$

Passaggio 16.4

$y$ e $\frac{3 x^{4} + y^{2}}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{\frac{y (3 x^{4} + y^{2})}{3}}{x^{3}} + C$

Passaggio 16.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (x, y) = \frac{y (3 x^{4} + y^{2})}{3} \cdot \frac{1}{x^{3}} + C$

Passaggio 16.6

Combina.

$f (x, y) = \frac{y (3 x^{4} + y^{2}) \cdot 1}{3 x^{3}} + C$

Passaggio 16.7

Moltiplica $y$ per $1$ .

$f (x, y) = \frac{y (3 x^{4} + y^{2})}{3 x^{3}} + C$