Calcolo Esempi

$(4 + x^{6}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{5}}{y}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $4 + x^{6}$ ciascun termine in $(4 + x^{6}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{5}}{y}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Dividi per $4 + x^{6}$ ciascun termine in $(4 + x^{6}) \frac{d y}{d x} = \frac{x^{5}}{y}$ .

$\frac{(4 + x^{6}) \frac{d y}{d x}}{4 + x^{6}} = \frac{\frac{x^{5}}{y}}{4 + x^{6}}$

Passaggio 1.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Elimina il fattore comune di $4 + x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(4 + x^{6}) \frac{d y}{d x}}{4 + x^{6}} = \frac{\frac{x^{5}}{y}}{4 + x^{6}}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{x^{5}}{y}}{4 + x^{6}}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{5}}{y} \cdot \frac{1}{4 + x^{6}}$

Passaggio 1.1.3.2

Moltiplica $\frac{x^{5}}{y}$ per $\frac{1}{4 + x^{6}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{5}}{y (4 + x^{6})}$

Passaggio 1.2

Raggruppa i fattori.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{5}}{4 + x^{6}} \cdot \frac{1}{y}$

Passaggio 1.3

Moltiplica ogni lato per $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{x^{5}}{4 + x^{6}} \cdot \frac{1}{y})$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Moltiplica $\frac{x^{5}}{4 + x^{6}}$ per $\frac{1}{y}$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{5}}{(4 + x^{6}) y}$

Passaggio 1.4.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Scomponi $y$ da $(4 + x^{6}) y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{5}}{y (4 + x^{6})}$

Passaggio 1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x^{5}}{y (4 + x^{6})}$

Passaggio 1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{5}}{4 + x^{6}}$

Passaggio 1.5

Riscrivi l'equazione.

$y d y = \frac{x^{5}}{4 + x^{6}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y d y = \int \frac{x^{5}}{4 + x^{6}} d x$

Passaggio 2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{5}}{4 + x^{6}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Riscrivi $x^{6}$ come ${(x^{6})}^{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{x^{5}}{4 + {(x^{6})}^{1}} d x$

Passaggio 2.3.2

Sia $u_{1} = x^{6}$ . Allora $d u_{1} = 6 x^{5} d x$ , quindi $\frac{1}{6} d u_{1} = x^{5} d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sia $u_{1} = x^{6}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Differenzia $x^{6}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{6}]$

Passaggio 2.3.2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$6 x^{5}$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{4 + {u_{1}}^{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{4 + u_{1}} \cdot \frac{1}{6} d u_{1}$

Passaggio 2.3.3.2

Moltiplica $\frac{1}{4 + u_{1}}$ per $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{(4 + u_{1}) \cdot 6} d u_{1}$

Passaggio 2.3.3.3

Sposta $6$ alla sinistra di $4 + u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{1}{6 (4 + u_{1})} d u_{1}$

Passaggio 2.3.4

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{6} \int \frac{1}{4 + u_{1}} d u_{1}$

Passaggio 2.3.5

Sia $u_{2} = 4 + u_{1}$ . Allora $d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Sia $u_{2} = 4 + u_{1}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.1

Differenzia $4 + u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [4 + u_{1}]$

Passaggio 2.3.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 + u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{d}{d u_{1}} [4] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [4] + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 2.3.5.1.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $4$ rispetto a $u_{1}$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 2.3.5.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 2.3.5.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 2.3.5.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 2.3.6

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{6} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Passaggio 2.3.7

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{6} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Passaggio 2.3.8

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $4 + u_{1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{6} \ln (| 4 + u_{1} |) + C_{2}$

Passaggio 2.3.8.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{6}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{6} \ln (| 4 + x^{6} |) + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $C$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{1}{6} \ln (| 4 + x^{6} |) + C$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{1}{6} \ln (| 4 + x^{6} |) + C)$

Passaggio 3.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

$\frac{1}{2}$ e $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{6} \ln (| 4 + x^{6} |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{1}{6} \ln (| 4 + x^{6} |) + C)$

Passaggio 3.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 2 (\frac{1}{6} \ln (| 4 + x^{6} |) + C)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $2 (\frac{1}{6} \ln (| 4 + x^{6} |) + C)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

$\frac{1}{6}$ e $\ln (| 4 + x^{6} |)$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 4 + x^{6} |)}{6} + C)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Per scrivere $C$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 4 + x^{6} |)}{6} + C \cdot \frac{6}{6})$

Passaggio 3.2.2.1.3

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.1

$C$ e $\frac{6}{6}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{\ln (| 4 + x^{6} |)}{6} + \frac{C \cdot 6}{6})$

Passaggio 3.2.2.1.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 4 + x^{6} |) + C \cdot 6}{6}$

Passaggio 3.2.2.1.3.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.3.3.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 4 + x^{6} |) + C \cdot 6}{2 (3)}$

Passaggio 3.2.2.1.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$y^{2} = 2 \frac{\ln (| 4 + x^{6} |) + C \cdot 6}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.2.2.1.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = \frac{\ln (| 4 + x^{6} |) + C \cdot 6}{3}$

Passaggio 3.2.2.1.4

Sposta $6$ alla sinistra di $C$ .

$y^{2} = \frac{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}{3}$

Passaggio 3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}{3}}$

Passaggio 3.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}{3}}$ come $\frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 3.4.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 3.4.3.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 3.4.3.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 3.4.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.4.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 3.4.3.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.4.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.4.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.4.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 3.4.3.6.5

Calcola l'esponente.

$y = \pm \frac{\sqrt{\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C} \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 3.4.4

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{(\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C) \cdot 3}}{3}$

Passaggio 3.4.5

Riordina i fattori in $\pm \frac{\sqrt{(\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C) \cdot 3}}{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

Passaggio 3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

Passaggio 3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

Passaggio 3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + 6 C)}}{3}$

Passaggio 4

Semplifica la costante dell'integrazione.

$y = \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + C)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{3 (\ln (| 4 + x^{6} |) + C)}}{3}$