Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 8 x - 5$ e $y (7) = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = (8 x - 5) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 8 x - 5 d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 8 x - 5 d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{1} = \int 8 x d x + \int - 5 d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , sposta $8$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 8 \int x d x + \int - 5 d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 5 d x$

Passaggio 2.3.4

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 5 x + C_{3}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 5 x + C_{3}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

$y + C_{1} = 4 x^{2} - 5 x + C_{4}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = 4 x^{2} - 5 x + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $7$ e $y$ con $0$ in $y = 4 x^{2} - 5 x + K$ .

$0 = 4 \cdot 7^{2} - 5 \cdot 7 + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $4 \cdot 7^{2} - 5 \cdot 7 + K = 0$ .

$4 \cdot 7^{2} - 5 \cdot 7 + K = 0$

Passaggio 4.2

Semplifica $4 \cdot 7^{2} - 5 \cdot 7 + K$ .

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Passaggio 4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1.1

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$4 \cdot 49 - 5 \cdot 7 + K = 0$

Passaggio 4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $49$ .

$196 - 5 \cdot 7 + K = 0$

Passaggio 4.2.1.3

Moltiplica $- 5$ per $7$ .

$196 - 35 + K = 0$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $35$ da $196$ .

$161 + K = 0$

Passaggio 4.3

Sottrai $161$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = - 161$

Passaggio 5

Sostituisci $- 161$ a $K$ in $y = 4 x^{2} - 5 x + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $- 161$ a $K$ .

$y = 4 x^{2} - 5 x - 161$