Calcolo Esempi

$x \frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{\sin (x)}{x}$ , $y (2) = 1$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x \frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{\sin (x)}{x}$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Passaggio 1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Passaggio 1.2.2

Dividi $\frac{d y}{d x}$ per $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Passaggio 1.3

Scomponi $y$ da $\frac{2 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{2}{x} = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Passaggio 1.4

Riordina $y$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{2}{x} y = \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \frac{2}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $\frac{2}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

$e^{2 \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{2 \ln (x)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{2})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{2}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} (\frac{2}{x} y) = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{2}{x}$ e $y$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x^{2} \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x \cdot x \frac{2 y}{x} = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + x (2 y) = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x^{2} \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \cdot x \frac{\frac{\sin (x)}{x}}{x}$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = x \frac{\sin (x)}{x}$

Passaggio 3.4

$x$ e $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{x \sin (x)}{x}$

Passaggio 3.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \frac{x \sin (x)}{x}$

Passaggio 3.5.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$x^{2} \frac{d y}{d x} + 2 x y = \sin (x)$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] = \sin (x)$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [x^{2} y] d x = \int \sin (x) d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$x^{2} y = \int \sin (x) d x$

Passaggio 7

L'integrale di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \cos (x)$ .

$x^{2} y = - \cos (x) + C$

Passaggio 8

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} y = - \cos (x) + C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $x^{2}$ ciascun termine in $x^{2} y = - \cos (x) + C$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- \cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$

Passaggio 9

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $2$ e $y$ con $1$ in $y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$ .

$1 = - \frac{\cos (2)}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}}$

Passaggio 10

Risolvi per $C$ .

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Passaggio 10.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{\cos (2)}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}} = 1$ .

$- \frac{\cos (2)}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Passaggio 10.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 10.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Calcola $\cos (2)$ .

$- \frac{0.99939082}{2^{2}} + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Passaggio 10.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{0.99939082}{4} + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Passaggio 10.2.1.3

Dividi $0.99939082$ per $4$ .

$- 1 \cdot 0.2498477 + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Passaggio 10.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0.2498477$ .

$- 0.2498477 + \frac{C}{2^{2}} = 1$

Passaggio 10.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 0.2498477 + \frac{C}{4} = 1$

Passaggio 10.3

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 10.3.1

Somma $0.2498477$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{C}{4} = 1 + 0.2498477$

Passaggio 10.3.2

Somma $1$ e $0.2498477$ .

$\frac{C}{4} = 1.2498477$

Passaggio 10.4

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $4$ .

$4 \frac{C}{4} = 4 \cdot 1.2498477$

Passaggio 10.5

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

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Passaggio 10.5.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 10.5.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$4 \frac{C}{4} = 4 \cdot 1.2498477$

Passaggio 10.5.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$C = 4 \cdot 1.2498477$

Passaggio 10.5.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 10.5.2.1

Moltiplica $4$ per $1.2498477$ .

$C = 4.99939082$

Passaggio 11

Sostituisci $4.99939082$ a $C$ in $y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{C}{x^{2}}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci $4.99939082$ a $C$ .

$y = - \frac{\cos (x)}{x^{2}} + \frac{4.99939082}{x^{2}}$