Calcolo Esempi

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}} = \frac{1}{x}$

Passaggio 1

Integra entrambi i lati rispetto a $x$ .

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Passaggio 1.1

La derivata prima è uguale all'integrale della derivata seconda rispetto a $x$ .

$\frac{d y}{d x} = \int \frac{1}{x} d x$

Passaggio 1.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$\frac{d y}{d x} = \ln (| x |) + C_{1}$

Passaggio 2

Riscrivi l'equazione.

$d y = (\ln (| x |) + C_{1}) d x$

Passaggio 3

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \ln (| x |) + C_{1} d x$

Passaggio 3.2

Applica la regola costante.

$y + C_{2} = \int \ln (| x |) + C_{1} d x$

Passaggio 3.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$y + C_{2} = \int \ln (| x |) d x + \int C_{1} d x$

Passaggio 3.3.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \ln (| x |)$ e $d v = 1$ .

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int x \frac{1}{x} d x + \int C_{1} d x$

Passaggio 3.3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.3.1

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x + \int C_{1} d x$

Passaggio 3.3.3.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int \frac{x}{x} d x + \int C_{1} d x$

Passaggio 3.3.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - \int d x + \int C_{1} d x$

Passaggio 3.3.4

Applica la regola costante.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - (x + C_{3}) + \int C_{1} d x$

Passaggio 3.3.5

Applica la regola costante.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - (x + C_{3}) + C_{1} x + C_{4}$

Passaggio 3.3.6

Semplifica.

$y + C_{2} = \ln (| x |) x - x + C_{1} x + C_{5}$

Passaggio 3.3.7

Riordina i termini.

$y + C_{2} = x \ln (| x |) + C_{1} x - x + C_{5}$

Passaggio 3.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $D$ .

$y = x \ln (| x |) + C x - x + D$