Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} - \frac{y}{x} = x e^{x}$ , $y (1) = e - 1$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi $y$ da $- \frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{1}{x}) = x e^{x}$

Passaggio 1.2

Riordina $y$ e $- \frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{1}{x} y = x e^{x}$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2

Integra $- \frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Passaggio 2.2.2

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- \ln (x)}$

Passaggio 2.4

Usa la regola della potenza logaritmica.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Passaggio 2.5

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$x^{- 1}$

Passaggio 2.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\frac{1}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

$\frac{1}{x}$ e $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Passaggio 3.2.3

$\frac{1}{x}$ e $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Moltiplica $\frac{y}{x}$ per $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Passaggio 3.2.4.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Passaggio 3.2.4.3

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Passaggio 3.2.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Passaggio 3.2.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Passaggio 3.3

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Scomponi $x$ da $x e^{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (e^{x}))$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x e^{x})$

Passaggio 3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = e^{x}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = e^{x}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int e^{x} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\frac{1}{x} y = \int e^{x} d x$

Passaggio 7

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$\frac{1}{x} y = e^{x} + C$

Passaggio 8

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$\frac{1}{x}$ e $y$ .

$\frac{y}{x} = e^{x} + C$

Passaggio 8.2

Moltiplica ogni lato per $x$ .

$\frac{y}{x} x = (e^{x} + C) x$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y}{x} x = (e^{x} + C) x$

Passaggio 8.3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y = (e^{x} + C) x$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Semplifica $(e^{x} + C) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = e^{x} x + C x$

Passaggio 8.3.2.1.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.2.1

Riordina i fattori in $e^{x} x + C x$ .

$y = x e^{x} + C x$

Passaggio 8.3.2.1.2.2

Riordina $x e^{x}$ e $C x$ .

$y = C x + x e^{x}$

Passaggio 9

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $e - 1$ in $y = C x + x e^{x}$ .

$e - 1 = C \cdot 1 + 1 e^{1}$

Passaggio 10

Risolvi per $C$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Riscrivi l'equazione come $C \cdot 1 + 1 e^{1} = e - 1$ .

$C \cdot 1 + 1 e = e - 1$

Passaggio 10.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Moltiplica $C$ per $1$ .

$C + 1 e^{1} = e - 1$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $e^{1}$ per $1$ .

$C + e^{1} = e - 1$

Passaggio 10.2.3

Semplifica.

$C + e = e - 1$

Passaggio 10.3

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sottrai $e$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = e - 1 - e$

Passaggio 10.3.2

Sottrai $e$ da $e$ .

$C = 0 - 1$

Passaggio 10.3.3

Sottrai $1$ da $0$ .

$C = - 1$

Passaggio 11

Sostituisci $- 1$ a $C$ in $y = C x + x e^{x}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci $- 1$ a $C$ .

$y = - 1 x + x e^{x}$

Passaggio 11.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y = - x + x e^{x}$