Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}}$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int \frac{- 24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = \int - \frac{24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - \int \frac{24}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Passaggio 2.3.3

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , sposta $24$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - (24 \int \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}} d x)$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $24$ per $- 1$ .

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{{(2 x + 1)}^{3}} d x$

Passaggio 2.3.5

Sia $u = 2 x + 1$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.3.5.1

Sia $u = 2 x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.3.5.1.1

Differenzia $2 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Passaggio 2.3.5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.5.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.5.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 2.3.5.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 2.3.5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{u^{3}} \cdot \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2.3.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Moltiplica $\frac{1}{u^{3}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{u^{3} \cdot 2} d u$

Passaggio 2.3.6.2

Sposta $2$ alla sinistra di $u^{3}$ .

$y + C_{1} = - 24 \int \frac{1}{2 u^{3}} d u$

Passaggio 2.3.7

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - 24 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u)$

Passaggio 2.3.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1.1

$\frac{1}{2}$ e $- 24$ .

$y + C_{1} = \frac{- 24}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Passaggio 2.3.8.1.2

Elimina il fattore comune di $- 24$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 24$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 12}{2} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Passaggio 2.3.8.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 12}{2 (1)} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Passaggio 2.3.8.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 12}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Passaggio 2.3.8.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = \frac{- 12}{1} \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Passaggio 2.3.8.1.2.2.4

Dividi $- 12$ per $1$ .

$y + C_{1} = - 12 \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Passaggio 2.3.8.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.2.1

Sposta $u^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$y + C_{1} = - 12 \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Passaggio 2.3.8.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.8.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - 12 \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Passaggio 2.3.8.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$y + C_{1} = - 12 \int u^{- 3} d u$

Passaggio 2.3.9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 3}$ rispetto a $u$ è $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C_{2})$

Passaggio 2.3.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.10.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.10.1.1

$u^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{u^{- 2}}{2} + C_{2})$

Passaggio 2.3.10.1.2

Sposta $u^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{1}{2 u^{2}} + C_{2})$

Passaggio 2.3.10.2

Semplifica.

$y + C_{1} = - 12 (- \frac{1}{2 u^{2}}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.10.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.10.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 12$ .

$y + C_{1} = 12 \frac{1}{2 u^{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.10.3.2

$12$ e $\frac{1}{2 u^{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{12}{2 u^{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.10.3.3

Elimina il fattore comune di $12$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.10.3.3.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 6}{2 u^{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.10.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.10.3.3.2.1

Scomponi $2$ da $2 u^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 6}{2 (u^{2})} + C_{2}$

Passaggio 2.3.10.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 6}{2 u^{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.10.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y + C_{1} = \frac{6}{u^{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.11

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x + 1$ .

$y + C_{1} = \frac{6}{{(2 x + 1)}^{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = \frac{6}{{(2 x + 1)}^{2}} + K$