Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y^{3}}{x^{2}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} \cdot \frac{4 y^{3}}{x^{2}}$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Combina.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (4 y^{3})}{y^{3} x^{2}}$

Passaggio 1.2.2

Elimina il fattore comune di $y^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (4 y^{3})}{y^{3} x^{2}}$

Passaggio 1.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot (4)}{x^{2}}$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{3}} d y = \frac{4}{x^{2}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sposta $y^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 3}$ rispetto a $y$ è $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Riscrivi $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ come $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{y^{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.2.3.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int \frac{4}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 2.3.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 \int x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 (- x^{- 1} + C_{2})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Riscrivi $4 (- x^{- 1} + C_{2})$ come $4 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - 4 \frac{1}{x} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.2

$- 4$ e $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{- 4}{x} + C_{2}$

Passaggio 2.3.4.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = - \frac{4}{x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = - \frac{4}{x} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$2 y^{2}, x, 1$

Passaggio 3.1.2

Poiché $2 y^{2}, x, 1$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $2, 1, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $y^{2}, x^{1}$ .

Passaggio 3.1.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 3.1.4

Poiché $2$ non presenta fattori eccetto $1$ e $2$ .

$2$ è un numero primo

Passaggio 3.1.5

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 3.1.6

Il minimo comune multiplo di $2, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$2$

Passaggio 3.1.7

I fattori di $y^{2}$ sono $y \cdot y$ , che corrisponde a $y$ moltiplicato per i fattori $2$ volte.

$y^{2} = y \cdot y$

$y$ si verifica $2$ volte.

Passaggio 3.1.8

Il fattore di $x^{1}$ è $x$ stesso.

$x^{1} = x$

$x$ si verifica $1$ volta.

Passaggio 3.1.9

Il minimo comune multiplo (mcm) di $y^{2}, x^{1}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$y \cdot y \cdot x$

Passaggio 3.1.10

Moltiplica $y$ per $y$ .

$y^{2} x$

Passaggio 3.1.11

Il minimo comune multiplo di $2 y^{2}, x, 1$ è la parte numerica $2$ moltiplicata per la parte variabile.

$2 y^{2} x$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $2 y^{2} x$ ciascun termine in $- \frac{1}{2 y^{2}} = - \frac{4}{x} + K$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{2 y^{2}} = - \frac{4}{x} + K$ per $2 y^{2} x$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2} x) = - \frac{4}{x} (2 y^{2} x) + K (2 y^{2} x)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2 y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2 y^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2} x) = - \frac{4}{x} (2 y^{2} x) + K (2 y^{2} x)$

Passaggio 3.2.2.1.2

Scomponi $2 y^{2}$ da $2 y^{2} x$ .

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2} (x)) = - \frac{4}{x} (2 y^{2} x) + K (2 y^{2} x)$

Passaggio 3.2.2.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2} x) = - \frac{4}{x} (2 y^{2} x) + K (2 y^{2} x)$

Passaggio 3.2.2.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- x = - \frac{4}{x} (2 y^{2} x) + K (2 y^{2} x)$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{4}{x}$ nel numeratore.

$- x = \frac{- 4}{x} (2 y^{2} x) + K (2 y^{2} x)$

Passaggio 3.2.3.1.1.2

Scomponi $x$ da $2 y^{2} x$ .

$- x = \frac{- 4}{x} (x (2 y^{2})) + K (2 y^{2} x)$

Passaggio 3.2.3.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$- x = \frac{- 4}{x} (x (2 y^{2})) + K (2 y^{2} x)$

Passaggio 3.2.3.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- x = - 4 (2 y^{2}) + K (2 y^{2} x)$

Passaggio 3.2.3.1.2

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$- x = - 8 y^{2} + K (2 y^{2} x)$

Passaggio 3.2.3.1.3

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$- x = - 8 y^{2} + 2 K y^{2} x$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 8 y^{2} + 2 K y^{2} x = - x$ .

$- 8 y^{2} + 2 K y^{2} x = - x$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $2 y^{2}$ da $- 8 y^{2} + 2 K y^{2} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Scomponi $2 y^{2}$ da $- 8 y^{2}$ .

$2 y^{2} (- 4) + 2 K y^{2} x = - x$

Passaggio 3.3.2.2

Scomponi $2 y^{2}$ da $2 K y^{2} x$ .

$2 y^{2} (- 4) + 2 y^{2} (K x) = - x$

Passaggio 3.3.2.3

Scomponi $2 y^{2}$ da $2 y^{2} (- 4) + 2 y^{2} (K x)$ .

$2 y^{2} (- 4 + K x) = - x$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $2 (- 4 + K x)$ ciascun termine in $2 y^{2} (- 4 + K x) = - x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $2 (- 4 + K x)$ ciascun termine in $2 y^{2} (- 4 + K x) = - x$ .

$\frac{2 y^{2} (- 4 + K x)}{2 (- 4 + K x)} = \frac{- x}{2 (- 4 + K x)}$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 y^{2} (- 4 + K x)}{2 (- 4 + K x)} = \frac{- x}{2 (- 4 + K x)}$

Passaggio 3.3.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2} (- 4 + K x)}{- 4 + K x} = \frac{- x}{2 (- 4 + K x)}$

Passaggio 3.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 4 + K x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} (- 4 + K x)}{- 4 + K x} = \frac{- x}{2 (- 4 + K x)}$

Passaggio 3.3.3.2.2.2

Dividi $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{- x}{2 (- 4 + K x)}$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = - \frac{x}{2 (- 4 + K x)}$

Passaggio 3.3.3.3.2

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$y^{2} = - \frac{x}{2 (- 1 (4) + K x)}$

Passaggio 3.3.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $K x$ .

$y^{2} = - \frac{x}{2 (- 1 (4) - (- K x))}$

Passaggio 3.3.3.3.4

Scomponi $- 1$ da $- 1 (4) - (- K x)$ .

$y^{2} = - \frac{x}{2 (- 1 (4 - K x))}$

Passaggio 3.3.3.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.5.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = - - \frac{x}{2 (4 - K x)}$

Passaggio 3.3.3.3.5.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y^{2} = 1 \frac{x}{2 (4 - K x)}$

Passaggio 3.3.3.3.5.3

Moltiplica $\frac{x}{2 (4 - K x)}$ per $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{2 (4 - K x)}$

Passaggio 3.3.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \pm \sqrt{\frac{x}{2 (4 - K x)}}$

Passaggio 3.3.5

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{x}{2 (4 - K x)}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{x}{2 (4 - K x)}}$ come $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2 (4 - K x)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2 (4 - K x)}}$

Passaggio 3.3.5.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2 (4 - K x)}}$ per $\frac{\sqrt{2 (4 - K x)}}{\sqrt{2 (4 - K x)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2 (4 - K x)}} \cdot \frac{\sqrt{2 (4 - K x)}}{\sqrt{2 (4 - K x)}}$

Passaggio 3.3.5.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2 (4 - K x)}}$ per $\frac{\sqrt{2 (4 - K x)}}{\sqrt{2 (4 - K x)}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{\sqrt{2 (4 - K x)} \sqrt{2 (4 - K x)}}$

Passaggio 3.3.5.3.2

Eleva $\sqrt{2 (4 - K x)}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{\sqrt{2 (4 - K x)}}^{1} \sqrt{2 (4 - K x)}}$

Passaggio 3.3.5.3.3

Eleva $\sqrt{2 (4 - K x)}$ alla potenza di $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{\sqrt{2 (4 - K x)}}^{1} {\sqrt{2 (4 - K x)}}^{1}}$

Passaggio 3.3.5.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{\sqrt{2 (4 - K x)}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.3.5.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{\sqrt{2 (4 - K x)}}^{2}}$

Passaggio 3.3.5.3.6

Riscrivi ${\sqrt{2 (4 - K x)}}^{2}$ come $2 (4 - K x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 (4 - K x)}$ come ${(2 (4 - K x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{({(2 (4 - K x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.3.5.3.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{(2 (4 - K x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.5.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{(2 (4 - K x))}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.3.5.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{(2 (4 - K x))}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.3.5.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{{(2 (4 - K x))}^{1}}$

Passaggio 3.3.5.3.6.5

Semplifica.

$y = \pm \frac{\sqrt{x} \sqrt{2 (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$

Passaggio 3.3.5.4

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$y = \pm \frac{\sqrt{x \cdot 2 (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$

Passaggio 3.3.5.5

Riordina i fattori in $\pm \frac{\sqrt{x \cdot 2 (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 x (4 - K x)}}{2 (4 - K x)}$

Passaggio 3.3.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.