Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 + x e^{x}}{y + y e^{y^{2}}}$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $y + y e^{y^{2}}$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y + y e^{y^{2}}}$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Scomponi $y$ da $y + y e^{y^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y^{1} + y e^{y^{2}}}$

Passaggio 1.2.1.2

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y \cdot 1 + y e^{y^{2}}}$

Passaggio 1.2.1.3

Scomponi $y$ da $y e^{y^{2}}$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y \cdot 1 + y (e^{y^{2}})}$

Passaggio 1.2.1.4

Scomponi $y$ da $y \cdot 1 + y (e^{y^{2}})$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = (y + y e^{y^{2}}) \frac{1 + x e^{x}}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Passaggio 1.2.2

Moltiplica $y + y e^{y^{2}}$ per $\frac{1 + x e^{x}}{y (1 + e^{y^{2}})}$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y + y e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Passaggio 1.2.3

Scomponi $y$ da $y + y e^{y^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y^{1} + y e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Passaggio 1.2.3.2

Scomponi $y$ da $y^{1}$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot 1 + y e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Passaggio 1.2.3.3

Scomponi $y$ da $y e^{y^{2}}$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(y \cdot 1 + y (e^{y^{2}})) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Passaggio 1.2.3.4

Scomponi $y$ da $y \cdot 1 + y (e^{y^{2}})$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Passaggio 1.2.4

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{y (1 + e^{y^{2}})}$

Passaggio 1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{1 + e^{y^{2}}}$

Passaggio 1.2.5

Elimina il fattore comune di $1 + e^{y^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = \frac{(1 + e^{y^{2}}) (1 + x e^{x})}{1 + e^{y^{2}}}$

Passaggio 1.2.5.2

Dividi $1 + x e^{x}$ per $1$ .

$(y + y e^{y^{2}}) \frac{d y}{d x} = 1 + x e^{x}$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$(y + y e^{y^{2}}) d y = (1 + x e^{x}) d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int y + y e^{y^{2}} d y = \int 1 + x e^{x} d x$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int y d y + \int y e^{y^{2}} d y = \int 1 + x e^{x} d x$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y$ rispetto a $y$ è $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int y e^{y^{2}} d y = \int 1 + x e^{x} d x$

Passaggio 2.2.3

Sia $u = y^{2}$ . Allora $d u = 2 y d y$ , quindi $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.2.3.1

Sia $u = y^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d y}$ .

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Passaggio 2.2.3.1.1

Differenzia $y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}]$

Passaggio 2.2.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 y$

Passaggio 2.2.3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int e^{u} \frac{1}{2} d u = \int 1 + x e^{x} d x$

Passaggio 2.2.4

$e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int \frac{e^{u}}{2} d u = \int 1 + x e^{x} d x$

Passaggio 2.2.5

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \frac{1}{2} \int e^{u} d u = \int 1 + x e^{x} d x$

Passaggio 2.2.6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \frac{1}{2} (e^{u} + C_{2}) = \int 1 + x e^{x} d x$

Passaggio 2.2.7

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{u} + C_{3} = \int 1 + x e^{x} d x$

Passaggio 2.2.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = \int 1 + x e^{x} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = \int d x + \int x e^{x} d x$

Passaggio 2.3.2

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = x + C_{4} + \int x e^{x} d x$

Passaggio 2.3.3

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = x + C_{4} + x e^{x} - \int e^{x} d x$

Passaggio 2.3.4

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = x + C_{4} + x e^{x} - (e^{x} + C_{5})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = x + x e^{x} - e^{x} + C_{6}$

Passaggio 2.3.6

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} + C_{3} = e^{x} x + x - e^{x} + C_{6}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} e^{y^{2}} = e^{x} x + x - e^{x} + K$