Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + y - x^{2} - 2 x = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione come $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 1.1

Somma $x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} + y - 2 x = x^{2}$

Passaggio 1.2

Somma $2 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d y}{d x} + y = x^{2} + 2 x$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = 1$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int d x}$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$e^{x + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{x}$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{x}$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{2} + e^{x} (2 x)$

Passaggio 3.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Passaggio 3.3

Riordina i fattori in $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$e^{x} y = \int x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} d x$

Passaggio 7

Integra il lato destro.

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Passaggio 7.1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$e^{x} y = \int x^{2} e^{x} d x + \int 2 x e^{x} d x$

Passaggio 7.2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x^{2}$ e $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - \int e^{x} (2 x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

Passaggio 7.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - (2 \int e^{x} (x) d x) + \int 2 x e^{x} d x$

Passaggio 7.4

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 \int e^{x} (x) d x + \int 2 x e^{x} d x$

Passaggio 7.5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x) + \int 2 x e^{x} d x$

Passaggio 7.6

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + \int 2 x e^{x} d x$

Passaggio 7.7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 \int x e^{x} d x$

Passaggio 7.8

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Passaggio 7.9

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 (x e^{x} - (e^{x} + C)) + 2 (x e^{x} - (e^{x} + C))$

Passaggio 7.10

Semplifica.

$e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$

Passaggio 8

Dividi per $e^{x}$ ciascun termine in $e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $e^{x}$ ciascun termine in $e^{x} y = x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

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Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x}}{e^{x}} + \frac{- 2 x e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 e^{x}}{e^{x}} + \frac{2 (x e^{x} - e^{x})}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x} - e^{x}) + C}{e^{x}}$

Passaggio 8.3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.3.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 (x e^{x}) + 2 (- e^{x}) + C}{e^{x}}$

Passaggio 8.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C}{e^{x}}$

Passaggio 8.3.3

Combina i termini opposti in $x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x} + 2 x e^{x} - 2 e^{x} + C$ .

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Passaggio 8.3.3.1

Somma $- 2 x e^{x}$ e $2 x e^{x}$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x} + 2 e^{x} + 0 - 2 e^{x} + C}{e^{x}}$

Passaggio 8.3.3.2

Somma $x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$ e $0$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x} + 2 e^{x} - 2 e^{x} + C}{e^{x}}$

Passaggio 8.3.3.3

Sottrai $2 e^{x}$ da $2 e^{x}$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x} + 0 + C}{e^{x}}$

Passaggio 8.3.3.4

Somma $x^{2} e^{x}$ e $0$ .

$y = \frac{x^{2} e^{x} + C}{e^{x}}$