Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{3 \sqrt{x}}$ , $y (4) = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = - \frac{1}{3 \sqrt{x}} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int - \frac{1}{3 \sqrt{x}} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{3 \sqrt{x}} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{3 \sqrt{x}} d x$

Passaggio 2.3.2

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x)$

Passaggio 2.3.3

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Passaggio 2.3.3.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Passaggio 2.3.3.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.3.3.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.3.3.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Passaggio 2.3.3.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Passaggio 2.3.4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Passaggio 2.3.5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.3.5.1

Riscrivi $- \frac{1}{3} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ come $- \frac{1}{3} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.5.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.5.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{3}) x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.5.2.2

$- 2$ e $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 2}{3} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.3.5.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = - \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = - \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $4$ e $y$ con $0$ in $y = - \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$0 = - \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{1}{2}} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{1}{2}} + K = 0$ .

$- \frac{2}{3} \cdot 4^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- \frac{2}{3} \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Passaggio 4.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

Passaggio 4.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2}{3} \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

Passaggio 4.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2}{3} \cdot 2^{1} + K = 0$

Passaggio 4.2.4

Calcola l'esponente.

$- \frac{2}{3} \cdot 2 + K = 0$

Passaggio 4.2.5

Moltiplica $- \frac{2}{3} \cdot 2$ .

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Passaggio 4.2.5.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 (\frac{2}{3}) + K = 0$

Passaggio 4.2.5.2

$- 2$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 2}{3} + K = 0$

Passaggio 4.2.5.3

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{- 4}{3} + K = 0$

Passaggio 4.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{3} + K = 0$

Passaggio 4.3

Somma $\frac{4}{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$K = \frac{4}{3}$

Passaggio 5

Sostituisci $\frac{4}{3}$ a $K$ in $y = - \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $\frac{4}{3}$ a $K$ .

$y = - \frac{2}{3} x^{\frac{1}{2}} + \frac{4}{3}$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.2.1

$x^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{3} + \frac{4}{3}$

Passaggio 5.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = - \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{3} + \frac{4}{3}$