Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} - y = x e^{x}$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int - 1 d x}$

Passaggio 1.2

Applica la regola costante.

$e^{- x + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{- x}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} (x e^{x})$

Passaggio 2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} (x e^{x})$

Passaggio 2.3

Moltiplica $e^{- x}$ per $e^{x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sposta $e^{x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{x} e^{- x} x$

Passaggio 2.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{x - x} x$

Passaggio 2.3.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{0} x$

Passaggio 2.4

Semplifica $e^{0} x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = x$

Passaggio 2.5

Riordina i fattori in $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = x$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = x$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = x$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int x d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{- x} y = \int x d x$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Passaggio 7

Dividi per $e^{- x}$ ciascun termine in $e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi per $e^{- x}$ ciascun termine in $e^{- x} y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

$\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 7.3.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 7.3.1.3

Combina.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Passaggio 7.3.1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$