Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + y \cot (x) = 1$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione differenziale come $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Passaggio 1.1

Scomponi $y$ da $y \cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (\cot (x)) = 1$

Passaggio 1.2

Riordina $y$ e $\cot (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \cot (x) y = 1$

Passaggio 2

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = \cot (x)$ .

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Passaggio 2.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int \cot (x) d x}$

Passaggio 2.2

L'integrale di $\cot (x)$ rispetto a $x$ è $\ln (| \sin (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (x) |) + C}$

Passaggio 2.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{\ln (\sin (x))}$

Passaggio 2.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$\sin (x)$

Passaggio 3

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $\sin (x)$ .

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Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine per $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \sin (x) (\cot (x) y) = \sin (x) \cdot 1$

Passaggio 3.2

Riscrivi in termini di seni e coseni, quindi cancella i fattori in comune.

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Passaggio 3.2.1

Riordina $\sin (x)$ e $\cot (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cot (x) \sin (x) y = \sin (x) \cdot 1$

Passaggio 3.2.2

Riscrivi $\sin (x) (\cot (x) y)$ in termini di seno e coseno.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x) y = \sin (x) \cdot 1$

Passaggio 3.2.3

Elimina i fattori comuni.

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x) \cdot 1$

Passaggio 3.3

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x)$

Passaggio 3.4

Riordina i fattori in $\sin (x) \frac{d y}{d x} + \cos (x) y = \sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{d y}{d x} + y \cos (x) = \sin (x)$

Passaggio 4

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [\sin (x) y] = \sin (x)$

Passaggio 5

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (x) y] d x = \int \sin (x) d x$

Passaggio 6

Integra il lato sinistro.

$\sin (x) y = \int \sin (x) d x$

Passaggio 7

L'integrale di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \cos (x)$ .

$\sin (x) y = - \cos (x) + C$

Passaggio 8

Dividi per $\sin (x)$ ciascun termine in $\sin (x) y = - \cos (x) + C$ e semplifica.

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Passaggio 8.1

Dividi per $\sin (x)$ ciascun termine in $\sin (x) y = - \cos (x) + C$ .

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{- \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

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Passaggio 8.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin (x) y}{\sin (x)} = \frac{- \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Passaggio 8.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.3.1.1

Frazioni separate.

$y = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{C}{\sin (x)}$

Passaggio 8.3.1.2

Converti da $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$y = \frac{- 1}{1} \cot (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

Passaggio 8.3.1.3

Dividi $- 1$ per $1$ .

$y = - \cot (x) + \frac{C}{\sin (x)}$

Passaggio 8.3.1.4

Frazioni separate.

$y = - \cot (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 8.3.1.5

Converti da $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$y = - \cot (x) + \frac{C}{1} \csc (x)$

Passaggio 8.3.1.6

Dividi $C$ per $1$ .

$y = - \cot (x) + C \csc (x)$