Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} + y = x$ , $y (0) = 3$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (x) d x}$ , dove $P (x) = 1$ .

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Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int d x}$

Passaggio 1.2

Applica la regola costante.

$e^{x + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{x}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{x}$ .

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x$

Passaggio 2.2

Riordina i fattori in $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} x$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = x e^{x}$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = x e^{x}$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int x e^{x} d x$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{x} y = \int x e^{x} d x$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

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Passaggio 6.1

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = x$ e $d v = e^{x}$ .

$e^{x} y = x e^{x} - \int e^{x} d x$

Passaggio 6.2

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$e^{x} y = x e^{x} - (e^{x} + C)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$

Passaggio 7

Dividi per $e^{x}$ ciascun termine in $e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi per $e^{x}$ ciascun termine in $e^{x} y = x e^{x} - e^{x} + C$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x e^{x}}{e^{x}} + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.3.1.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$y = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.3.1.2

Elimina il fattore comune di $e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y = x + \frac{- e^{x}}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 7.3.1.2.2

Dividi $- 1$ per $1$ .

$y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$

Passaggio 8

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $x$ con $0$ e $y$ con $3$ in $y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$ .

$3 = 0 - 1 + \frac{C}{e^{0}}$

Passaggio 9

Risolvi per $C$ .

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Passaggio 9.1

Riscrivi l'equazione come $0 - 1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$ .

$0 - 1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$

Passaggio 9.2

Semplifica $0 - 1 + \frac{C}{e^{0}}$ .

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Passaggio 9.2.1

Sottrai $1$ da $0$ .

$- 1 + \frac{C}{e^{0}} = 3$

Passaggio 9.2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.2.2.1

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$- 1 + \frac{C}{1} = 3$

Passaggio 9.2.2.2

Dividi $C$ per $1$ .

$- 1 + C = 3$

Passaggio 9.3

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 9.3.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$C = 3 + 1$

Passaggio 9.3.2

Somma $3$ e $1$ .

$C = 4$

Passaggio 10

Sostituisci $4$ a $C$ in $y = x - 1 + \frac{C}{e^{x}}$ e semplifica.

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Passaggio 10.1

Sostituisci $4$ a $C$ .

$y = x - 1 + \frac{4}{e^{x}}$