Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{- 2}$ , $y (1) = 2$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione.

$d y = 3 x^{- 2} d x$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

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Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int d y = \int 3 x^{- 2} d x$

Passaggio 2.2

Applica la regola costante.

$y + C_{1} = \int 3 x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$y + C_{1} = 3 \int x^{- 2} d x$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$y + C_{1} = 3 (- x^{- 1} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $3 (- x^{- 1} + C_{2})$ come $3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 3 (- \frac{1}{x}) + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

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Passaggio 2.3.3.2.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$y + C_{1} = - 3 \frac{1}{x} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2

$- 3$ e $\frac{1}{x}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 3}{x} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y + C_{1} = - \frac{3}{x} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$y = - \frac{3}{x} + K$

Passaggio 3

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $x$ con $1$ e $y$ con $2$ in $y = - \frac{3}{x} + K$ .

$2 = - \frac{3}{1} + K$

Passaggio 4

Risolvi per $K$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{3}{1} + K = 2$ .

$- \frac{3}{1} + K = 2$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1

Dividi $3$ per $1$ .

$- 1 \cdot 3 + K = 2$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 + K = 2$

Passaggio 4.3

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$K = 2 + 3$

Passaggio 4.3.2

Somma $2$ e $3$ .

$K = 5$

Passaggio 5

Sostituisci $5$ a $K$ in $y = - \frac{3}{x} + K$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Sostituisci $5$ a $K$ .

$y = - \frac{3}{x} + 5$