Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} = 2 y^{2} t$ , $y (3) = 1$

Passaggio 1

Separa le variabili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Moltiplica ogni lato per $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y^{2}} (2 y^{2} t)$

Passaggio 1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = 2 \frac{1}{y^{2}} (y^{2} t)$

Passaggio 1.2.2

$2$ e $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{2}{y^{2}} (y^{2} t)$

Passaggio 1.2.3

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Scomponi $y^{2}$ da $y^{2} t$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{2}{y^{2}} (y^{2} (t))$

Passaggio 1.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = \frac{2}{y^{2}} (y^{2} t)$

Passaggio 1.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d t} = 2 t$

Passaggio 1.3

Riscrivi l'equazione.

$\frac{1}{y^{2}} d y = 2 t d t$

Passaggio 2

Integra entrambi i lati.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 2 t d t$

Passaggio 2.2

Integra il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Sposta $y^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 2 t d t$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 2 t d t$

Passaggio 2.2.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int 2 t d t$

Passaggio 2.2.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $y^{- 2}$ rispetto a $y$ è $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 2 t d t$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $- y^{- 1} + C_{1}$ come $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 2 t d t$

Passaggio 2.3

Integra il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 \int t d t$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $t$ rispetto a $t$ è $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Riscrivi $2 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2})$ come $2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 2 (\frac{1}{2}) t^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.1

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{2} t^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{2}{2} t^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 t^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.3.3.2.3

Moltiplica $t^{2}$ per $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = t^{2} + C_{2}$

Passaggio 2.4

Raggruppa la costante dell'integrazione sul lato destro come $K$ .

$- \frac{1}{y} = t^{2} + K$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y, 1, 1$

Passaggio 3.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y$

Passaggio 3.2

Moltiplica per $y$ ciascun termine in $- \frac{1}{y} = t^{2} + K$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{y} = t^{2} + K$ per $y$ .

$- \frac{1}{y} y = t^{2} y + K y$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{y}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{y} y = t^{2} y + K y$

Passaggio 3.2.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{y} y = t^{2} y + K y$

Passaggio 3.2.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = t^{2} y + K y$

Passaggio 3.3

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $t^{2} y + K y = - 1$ .

$t^{2} y + K y = - 1$

Passaggio 3.3.2

Scomponi $y$ da $t^{2} y + K y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Scomponi $y$ da $t^{2} y$ .

$y t^{2} + K y = - 1$

Passaggio 3.3.2.2

Scomponi $y$ da $K y$ .

$y t^{2} + y K = - 1$

Passaggio 3.3.2.3

Scomponi $y$ da $y t^{2} + y K$ .

$y (t^{2} + K) = - 1$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $t^{2} + K$ ciascun termine in $y (t^{2} + K) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $t^{2} + K$ ciascun termine in $y (t^{2} + K) = - 1$ .

$\frac{y (t^{2} + K)}{t^{2} + K} = \frac{- 1}{t^{2} + K}$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $t^{2} + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (t^{2} + K)}{t^{2} + K} = \frac{- 1}{t^{2} + K}$

Passaggio 3.3.3.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- 1}{t^{2} + K}$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{1}{t^{2} + K}$

Passaggio 4

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $K$ sostituendo $t$ con $3$ e $y$ con $1$ in $y = - \frac{1}{t^{2} + K}$ .

$1 = - \frac{1}{3^{2} + K}$

Passaggio 5

Risolvi per $K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{1}{3^{2} + K} = 1$ .

$- \frac{1}{3^{2} + K} = 1$

Passaggio 5.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$- \frac{1}{9 + K} = 1$

Passaggio 5.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$9 + K, 1$

Passaggio 5.3.2

Rimuovi le parentesi.

$9 + K, 1$

Passaggio 5.3.3

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$9 + K$

Passaggio 5.4

Moltiplica per $9 + K$ ciascun termine in $- \frac{1}{9 + K} = 1$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{9 + K} = 1$ per $9 + K$ .

$- \frac{1}{9 + K} (9 + K) = 1 (9 + K)$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $9 + K$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{9 + K}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{9 + K} (9 + K) = 1 (9 + K)$

Passaggio 5.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{9 + K} (9 + K) = 1 (9 + K)$

Passaggio 5.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = 1 (9 + K)$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Moltiplica $9 + K$ per $1$ .

$- 1 = 9 + K$

Passaggio 5.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi l'equazione come $9 + K = - 1$ .

$9 + K = - 1$

Passaggio 5.5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $K$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$K = - 1 - 9$

Passaggio 5.5.2.2

Sottrai $9$ da $- 1$ .

$K = - 10$

Passaggio 6

Sostituisci $- 10$ a $K$ in $y = - \frac{1}{t^{2} + K}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci $- 10$ a $K$ .

$y = - \frac{1}{t^{2} - 10}$