Calcolo Esempi

$(x - 6 y) d x + 5 x d y = 0$

Passaggio 1

Trova $\frac{\partial M}{\partial y}$ dove $M (x, y) = x - 6 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia $M$ rispetto a $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 6 y]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 6 y$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 6 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 6 y]$

Passaggio 1.2.2

Poiché $x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $x$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 6 y]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d y} [- 6 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 6 y$ rispetto a $y$ è $- 6 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 6 \frac{d}{d y} [y]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 6 \cdot 1$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 6$

Passaggio 1.4

Sottrai $6$ da $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 6$

Passaggio 2

Trova $\frac{\partial N}{\partial x}$ dove $N (x, y) = 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia $N$ rispetto a $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [5 x]$

Passaggio 2.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5 \cdot 1$

Passaggio 2.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 5$

Passaggio 3

Verifica che $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- 6$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ e $5$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$

$- 6 = 5$

Passaggio 3.2

Poiché il lato sinistro non è uguale al lato destro, l'equazione non è un'identità.

$- 6 = 5$ non è un'identità.

Passaggio 4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $- 6$ a $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{- 6 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Passaggio 4.2

Sostituisci $5$ a $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{- 6 - 5}{N}$

Passaggio 4.3

Sostituisci $5 x$ a $N$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $5 x$ a $N$ .

$\frac{- 6 - 5}{5 x}$

Passaggio 4.3.2

Sottrai $5$ da $- 6$ .

$\frac{- 11}{5 x}$

Passaggio 4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{11}{5 x}$

Passaggio 4.4

Trova il fattore di integrazione $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{11}{5 x} d x}$

Passaggio 5

Valuta l'integrale $e^{\int - \frac{11}{5 x} d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{11}{5 x} d x}$

Passaggio 5.2

Poiché $\frac{11}{5}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{11}{5}$ fuori dall'integrale.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{11}{5} \int \frac{1}{x} d x)}$

Passaggio 5.3

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{11}{5} (\ln (| x |) + C)}$

Passaggio 5.4

Semplifica.

$μ (x, y) = e^{- \frac{11}{5} \ln (| x |)} + C$

Passaggio 5.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Moltiplica $- \frac{11}{5} \ln (| x |)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Riordina $\ln (| x |)$ e $\frac{11}{5}$ .

$μ (x, y) = e^{- (\frac{11}{5} \ln (| x |))} + C$

Passaggio 5.5.1.2

Semplifica $\frac{11}{5} \ln (| x |)$ spostando $\frac{11}{5}$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| x |}^{\frac{11}{5}})} + C$

Passaggio 5.5.2

Semplifica $- \ln ({| x |}^{\frac{11}{5}})$ spostando $- 1$ all'interno del logaritmo.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| x |}^{\frac{11}{5}})}^{- 1})} + C$

Passaggio 5.5.3

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$μ (x, y) = {({| x |}^{\frac{11}{5}})}^{- 1} + C$

Passaggio 5.5.4

Moltiplica gli esponenti in ${({| x |}^{\frac{11}{5}})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{11}{5} \cdot - 1} + C$

Passaggio 5.5.4.2

Moltiplica $\frac{11}{5} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1

$\frac{11}{5}$ e $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{11 \cdot - 1}{5}} + C$

Passaggio 5.5.4.2.2

Moltiplica $11$ per $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{- 11}{5}} + C$

Passaggio 5.5.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$μ (x, y) = {| x |}^{- \frac{11}{5}} + C$

Passaggio 5.5.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{\frac{11}{5}}} + C$

Passaggio 6

Moltiplica entrambi i lati di $(x - 6 y) d x + 5 x d y = 0$ per il fattore di integrazione $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $x - 6 y$ per $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

$(x - 6 y) \frac{1}{x^{\frac{11}{5}}} d x + 5 x d y = 0$

Passaggio 6.2

Moltiplica $x - 6 y$ per $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + 5 x d y = 0$

Passaggio 6.3

Moltiplica $5 x$ per $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + 5 x \frac{1}{x^{\frac{11}{5}}} d y = 0$

Passaggio 6.4

Moltiplica $5 x \frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

$5$ e $\frac{1}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + x \frac{5}{x^{\frac{11}{5}}} d y = 0$

Passaggio 6.4.2

$x$ e $\frac{5}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{x \cdot 5}{x^{\frac{11}{5}}} d y = 0$

Passaggio 6.5

Sposta $x^{1}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11}{5}} x^{- 1}} d y = 0$

Passaggio 6.6

Moltiplica $x^{\frac{11}{5}}$ per $x^{- 1}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11}{5} - 1}} d y = 0$

Passaggio 6.6.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}} d y = 0$

Passaggio 6.6.3

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}} d y = 0$

Passaggio 6.6.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11 - 1 \cdot 5}{5}}} d y = 0$

Passaggio 6.6.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.5.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{11 - 5}{5}}} d y = 0$

Passaggio 6.6.5.2

Sottrai $5$ da $11$ .

$\frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} d x + \frac{5}{x^{\frac{6}{5}}} d y = 0$

Passaggio 7

Imposta $f (x, y)$ uguale all'integrale di $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{5}{x^{\frac{6}{5}}} d y$

Passaggio 8

Integra $N (x, y) = \frac{5}{x^{\frac{6}{5}}}$ per trovare $f (x, y)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Applica la regola costante.

$f (x, y) = \frac{5}{x^{\frac{6}{5}}} y + C$

Passaggio 8.2

$\frac{5}{x^{\frac{6}{5}}}$ e $y$ .

$f (x, y) = \frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + C$

Passaggio 9

Poiché l'integrale di $g (x)$ conterrà una costante di integrazione, è possibile sostituire $C$ con $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + g (x)$

Passaggio 10

Imposta $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11

Trova $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Differenzia $f$ rispetto a $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Poiché $5 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}}$ rispetto a $x$ è $5 y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}]$ .

$5 y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$ come ${(x^{\frac{6}{5}})}^{- 1}$ .

$5 y \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{6}{5}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{6}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{6}{5}}$ .

$5 y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{5}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$5 y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{5}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{6}{5}}$ .

$5 y (- {(x^{\frac{6}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{5}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{6}{5}$ .

$5 y (- {(x^{\frac{6}{5}})}^{- 2} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{6}{5}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 y (- x^{\frac{6}{5} \cdot - 2} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.3.5.2

Moltiplica $\frac{6}{5} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.5.2.1

$\frac{6}{5}$ e $- 2$ .

$5 y (- x^{\frac{6 \cdot - 2}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.3.5.2.2

Moltiplica $6$ per $- 2$ .

$5 y (- x^{\frac{- 12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.3.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.3.7

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6 - 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{6 - 5}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.3.9.2

Sottrai $5$ da $6$ .

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} (\frac{6}{5} x^{\frac{1}{5}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.3.10

$\frac{6}{5}$ e $x^{\frac{1}{5}}$ .

$5 y (- x^{- \frac{12}{5}} \frac{6 x^{\frac{1}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.3.11

$\frac{6 x^{\frac{1}{5}}}{5}$ e $x^{- \frac{12}{5}}$ .

$5 y (- \frac{6 x^{\frac{1}{5}} x^{- \frac{12}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.3.12

Moltiplica $x^{\frac{1}{5}}$ per $x^{- \frac{12}{5}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.12.1

Sposta $x^{- \frac{12}{5}}$ .

$5 y (- \frac{6 (x^{- \frac{12}{5}} x^{\frac{1}{5}})}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.3.12.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 y (- \frac{6 x^{- \frac{12}{5} + \frac{1}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.3.12.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 y (- \frac{6 x^{\frac{- 12 + 1}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.3.12.4

Somma $- 12$ e $1$ .

$5 y (- \frac{6 x^{\frac{- 11}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.3.12.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$5 y (- \frac{6 x^{- \frac{11}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.3.13

Sposta $x^{- \frac{11}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 y (- \frac{6}{5 x^{\frac{11}{5}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.3.14

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$- 5 y \frac{6}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.3.15

$- 5$ e $\frac{6}{5 x^{\frac{11}{5}}}$ .

$y \frac{- 5 \cdot 6}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.3.16

Moltiplica $- 5$ per $6$ .

$y \frac{- 30}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.3.17

$y$ e $\frac{- 30}{5 x^{\frac{11}{5}}}$ .

$\frac{y \cdot - 30}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.3.18

Sposta $- 30$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{- 30 \cdot y}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.3.19

Scomponi $5$ da $- 30 y$ .

$\frac{5 (- 6 y)}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.3.20

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.20.1

Scomponi $5$ da $5 x^{\frac{11}{5}}$ .

$\frac{5 (- 6 y)}{5 (x^{\frac{11}{5}})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.3.20.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (- 6 y)}{5 x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.3.20.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.3.21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{6 y}{x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.4

Differenzia usando la regola della funzione secondo cui la derivata di $g (x)$ è $\frac{d g}{d x}$ .

$- \frac{6 y}{x^{\frac{11}{5}}} + \frac{d g}{d x} = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 11.5

Riordina i termini.

$\frac{d g}{d x} - \frac{6 y}{x^{\frac{11}{5}}} = \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$

Passaggio 12

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Risolvi per $\frac{d g}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Semplifica $\frac{d g}{d x} - \frac{6 y}{x^{\frac{11}{5}}} - \frac{x - 6 y}{x^{\frac{11}{5}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 6 y - (x - 6 y)}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 6 y - x - (- 6 y)}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.2.2

Moltiplica $- 6$ per $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 6 y - x + 6 y}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3

Combina i termini opposti in $- 6 y - x + 6 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1.3.1

Somma $- 6 y$ e $6 y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x + 0}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.3.2

Somma $- x$ e $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- x}{x^{\frac{11}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 12.1.1.4.1

Sposta $x^{1}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11}{5}} x^{- 1}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4.2

Moltiplica $x^{\frac{11}{5}}$ per $x^{- 1}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 12.1.1.4.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11}{5} - 1}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4.2.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4.2.3

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11 - 1 \cdot 5}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.1.1.4.2.5.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{11 - 5}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4.2.5.2

Sottrai $5$ da $11$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 1}{x^{\frac{6}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.1.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{d g}{d x} - \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}} = 0$

Passaggio 12.1.2

Somma $\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 13

Trova l'antiderivata di $\frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$ per trovare $g (x)$ .

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Passaggio 13.1

Integra entrambi i lati di $\frac{d g}{d x} = \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}} d x$

Passaggio 13.2

Calcola $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{1}{x^{\frac{6}{5}}} d x$

Passaggio 13.3

Sposta $x^{\frac{6}{5}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$g (x) = \int {(x^{\frac{6}{5}})}^{- 1} d x$

Passaggio 13.4

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{6}{5}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 13.4.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = \int x^{\frac{6}{5} \cdot - 1} d x$

Passaggio 13.4.2

Moltiplica $\frac{6}{5} \cdot - 1$ .

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Passaggio 13.4.2.1

$\frac{6}{5}$ e $- 1$ .

$g (x) = \int x^{\frac{6 \cdot - 1}{5}} d x$

Passaggio 13.4.2.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$g (x) = \int x^{\frac{- 6}{5}} d x$

Passaggio 13.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$g (x) = \int x^{- \frac{6}{5}} d x$

Passaggio 13.5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{6}{5}}$ rispetto a $x$ è $- 5 x^{- \frac{1}{5}}$ .

$g (x) = - 5 x^{- \frac{1}{5}} + C$

Passaggio 13.6

Semplifica la risposta.

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Passaggio 13.6.1

Riscrivi $- 5 x^{- \frac{1}{5}} + C$ come $- 5 \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} + C$ .

$g (x) = - 5 \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}} + C$

Passaggio 13.6.2

Semplifica.

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Passaggio 13.6.2.1

$- 5$ e $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ .

$g (x) = \frac{- 5}{x^{\frac{1}{5}}} + C$

Passaggio 13.6.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$g (x) = - \frac{5}{x^{\frac{1}{5}}} + C$

Passaggio 14

Sostituisci a $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{5 y}{x^{\frac{6}{5}}} - \frac{5}{x^{\frac{1}{5}}} + C$