Calcolo Esempi

$\frac{d y}{d t} + 3 y = 7$ , $y (0) = 1$

Passaggio 1

Il fattore di integrazione è definito dalla formula $e^{\int P (t) d t}$ , dove $P (t) = 3$ .

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Passaggio 1.1

Imposta l'integrazione.

$e^{\int 3 d t}$

Passaggio 1.2

Applica la regola costante.

$e^{3 t + C}$

Passaggio 1.3

Rimuovi la costante dell'integrazione.

$e^{3 t}$

Passaggio 2

Moltiplica ogni termine integrando il fattore $e^{3 t}$ .

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine per $e^{3 t}$ .

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + e^{3 t} (3 y) = e^{3 t} \cdot 7$

Passaggio 2.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 e^{3 t} y = e^{3 t} \cdot 7$

Passaggio 2.3

Sposta $7$ alla sinistra di $e^{3 t}$ .

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 e^{3 t} y = 7 \cdot e^{3 t}$

Passaggio 2.4

Riordina i fattori in $e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 e^{3 t} y = 7 e^{3 t}$ .

$e^{3 t} \frac{d y}{d t} + 3 y e^{3 t} = 7 e^{3 t}$

Passaggio 3

Riscrivi il lato sinistro come il risultato di una differenziazione di un prodotto.

$\frac{d}{d t} [e^{3 t} y] = 7 e^{3 t}$

Passaggio 4

Imposta un integrale su ciascun lato.

$\int \frac{d}{d t} [e^{3 t} y] d t = \int 7 e^{3 t} d t$

Passaggio 5

Integra il lato sinistro.

$e^{3 t} y = \int 7 e^{3 t} d t$

Passaggio 6

Integra il lato destro.

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Passaggio 6.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $t$ , sposta $7$ fuori dall'integrale.

$e^{3 t} y = 7 \int e^{3 t} d t$

Passaggio 6.2

Sia $u = 3 t$ . Allora $d u = 3 d t$ , quindi $\frac{1}{3} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 6.2.1

Sia $u = 3 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

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Passaggio 6.2.1.1

Differenzia $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Passaggio 6.2.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $3 t$ rispetto a $t$ è $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 6.2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$e^{3 t} y = 7 \int e^{u} \frac{1}{3} d u$

Passaggio 6.3

$e^{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$e^{3 t} y = 7 \int \frac{e^{u}}{3} d u$

Passaggio 6.4

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$e^{3 t} y = 7 (\frac{1}{3} \int e^{u} d u)$

Passaggio 6.5

$\frac{1}{3}$ e $7$ .

$e^{3 t} y = \frac{7}{3} \int e^{u} d u$

Passaggio 6.6

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{3 t} y = \frac{7}{3} (e^{u} + C)$

Passaggio 6.7

Semplifica.

$e^{3 t} y = \frac{7}{3} e^{u} + C$

Passaggio 6.8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 t$ .

$e^{3 t} y = \frac{7}{3} e^{3 t} + C$

Passaggio 7

Dividi per $e^{3 t}$ ciascun termine in $e^{3 t} y = \frac{7}{3} e^{3 t} + C$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi per $e^{3 t}$ ciascun termine in $e^{3 t} y = \frac{7}{3} e^{3 t} + C$ .

$\frac{e^{3 t} y}{e^{3 t}} = \frac{\frac{7}{3} e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune di $e^{3 t}$ .

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Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{3 t} y}{e^{3 t}} = \frac{\frac{7}{3} e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Passaggio 7.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\frac{7}{3} e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.3.1

Elimina il fattore comune di $e^{3 t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{\frac{7}{3} e^{3 t}}{e^{3 t}} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Passaggio 7.3.1.2

Dividi $\frac{7}{3}$ per $1$ .

$y = \frac{7}{3} + \frac{C}{e^{3 t}}$

Passaggio 8

Usa la condizione iniziale per trovare il valore di $C$ sostituendo $t$ con $0$ e $y$ con $1$ in $y = \frac{7}{3} + \frac{C}{e^{3 t}}$ .

$1 = \frac{7}{3} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}}$

Passaggio 9

Risolvi per $C$ .

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Passaggio 9.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{7}{3} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 1$ .

$\frac{7}{3} + \frac{C}{e^{3 \cdot 0}} = 1$

Passaggio 9.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.2.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 9.2.1.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{7}{3} + \frac{C}{e^{0}} = 1$

Passaggio 9.2.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{7}{3} + \frac{C}{1} = 1$

Passaggio 9.2.2

Dividi $C$ per $1$ .

$\frac{7}{3} + C = 1$

Passaggio 9.3

Sposta tutti i termini non contenenti $C$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 9.3.1

Sottrai $\frac{7}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$C = 1 - \frac{7}{3}$

Passaggio 9.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$C = \frac{3}{3} - \frac{7}{3}$

Passaggio 9.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$C = \frac{3 - 7}{3}$

Passaggio 9.3.4

Sottrai $7$ da $3$ .

$C = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 9.3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$C = - \frac{4}{3}$

Passaggio 10

Sostituisci $- \frac{4}{3}$ a $C$ in $y = \frac{7}{3} + \frac{C}{e^{3 t}}$ e semplifica.

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Passaggio 10.1

Sostituisci $- \frac{4}{3}$ a $C$ .

$y = \frac{7}{3} + \frac{- \frac{4}{3}}{e^{3 t}}$

Passaggio 10.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$y = \frac{7}{3} - \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{e^{3 t}}$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $\frac{1}{e^{3 t}}$ per $\frac{4}{3}$ .

$y = \frac{7}{3} - \frac{4}{e^{3 t} \cdot 3}$

Passaggio 10.2.3

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 t}$ .

$y = \frac{7}{3} - \frac{4}{3 e^{3 t}}$